Курсовая работа: Задачи на экстремум в планиметрии

Из (4) видно, что при производная положительна. Значит (§ 3), имеем минимум. Будучи единственным, он является (см.

замечание 1) наименьшим значением полупериметра;

(6)

т. е. из всех прямоугольников с данной площадью S наименьший полупериметр имеет квадрат Наибольшего значения величина р не имеет [данный промежуток (0, +∞) — незамкнутый].

П р и м е р 3. Найти наименьшее количество жести, из которого можно изготовить цилиндрическую консервную банку вместимостью V=2π (запас на швы не учитывать).

Р е ш е н и е. Пусть поверхность банки S, радиус основания r, высота h. Требуется найти наименьшее значение величины

S = 2 πrh + 2r² (7)

при условии, что

πr² h=V.(8)

За аргумент удобно принять r. Из (7) и (8) находим:

(9)

где аргумент изменяется в промежутке (0, ∞). По смыслу задачи ясно, что величина S достигает наименьшего значения где-то внутри этого промежутка. Поэтому достаточно рассмотреть значения функции в критических точках. Решаем уравнение (10)

Единственный его корень соответствует наименьшему значению S. Из (8) и (11) находим: , т. е. высота банки должна равняться диаметру основания. Наименьшее количество жести, потребное для изготовления банки, равно

S_наим = 2 π(rh + г² ) = 6 πr² = 3 πrV ~ 879 см² .

П р и м е р 4. (парадокс Декарта). В 1638 г.

Рис. 15 Декарт получил (через М. Мерсенна) письмо Ферма, где последний сообщил без доказательства открытое им правило разыскания экстремума. В переводе на современный язык правило Ферма сводится к разысканию значения х , обращающего в нуль производную f '(х ) исследуемой функции f (х ).

В ответном письме Декарт привел нижеследующий пример, доказывающий, как он полагал, ложность правила Ферма. Пусть дана окружность

х ² +у ² = r ² (12)

(рис. 15) и точка А (— а ; 0), отличная от центра (т. е. а ≠ 0). Требуется найти на окружности (12) точку, ближайшую к А. Квадрат расстояния произвольной точки М (х ; у ) от точки А выражается так:

АМ² = (х + а)² + у ² .(13)

Если же М лежит на окружности (12), то у² = r ² —х ² ,

так что AM² = (х + а )² + r ² — x ² .

Чтобы найти значение х , дающее минимум величине AM² , Декарт следует правилу Ферма и получает нелепое равенство 2а = 0.

Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой Р (—r ; 0). Из этого Декарт заключает, что признак минимума неверен. На самом деле точка Р (х = - r ) не обнаруживается по другой причине: соответствующее ей наименьшее значение AM² не является минимумом. Действительно, х изменяется только в промежутке (— r , + r ). Рассматриваемая функция принимает наименьшее значение на конце промежутка.

§ 7. Правило разыскания экстремума

Пусть функция f (x , у ) дифференцируема в некоторой области ее задания. Чтобы найти все ее экстремумы в этой области, надо:

1) Решить систему уравнений f '_x (x ,y ) = 0, f '_y (x ,y ) = 0. (1)

Решение даст критические точки .

2) Для каждой критической точки Р₀ (a ; b ) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f (x , y ) – f (a , b )(2)

для всех точек (х ; у ), достаточно близких к Р₀ . Если разность (2) сохраняет положительный знак, то в точке Р₀ имеем минимум, если отрицательный, — то максимум. Если разность (2) не сохраняет знака, то в точке Р₀ нет экстремума.

Аналогично находим экстремумы функции при большем числе аргументов.

З а м е ч а н и е. При двух аргументах исследование иногда облегчается применением достаточного условия § 8. При большем числе аргументов это условие усложняется. Поэтому на практике стараются использовать частные свойства данной функции.

П р и м е р. Найти экстремумы функции

f (x , у ) = х ³ + у ³ -Зху + 1.

Р е ш е н и е. 1) Приравнивая к нулю частные производные f '_х = 3х ² — 3у , f =3у ² — Зх , получаем систему уравнений

х ² - у = 0,у ² — х = 0.(3)