Курсовая работа: Замкнутые сети с многорежимными стратегиями обслуживания

и для

Достаточно показать, что при выполнении (3.1.2) – (3.1.8) из (3.1.10) следует (3.1.11). Пусть при некотором фиксированном . Докажем, что тогда для всех выполняется (3.1.11). При соотношение (3.1.11) следует из (3.1.4) и соотношения (3.1.10) для состояний и . Предположим, что (3.1.11) выполняется для некоторого , т.е.

Тогда из (3.1.5) с учетом (3.1.12) и (3.1.10) для состояний и вытекает (3.1.11). Итак, (3.1.11) доказано с помощью индукции по . Лемма доказана.

Лемма 1.2 [46, C.325] . Для ограниченной -квазиобратимости изолированного -го узла необходимо и достаточно выполнения условий

а) для при некотором

б) для всех

где при не определенная ранее величина должна быть заменена на . Марковский процесс эргодичен, а его финальное стационарное распределение с точностью до постоянной нормировки определяется соотношениями

где при последнее неравенство надо заменить на .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Рассмотрим случайное блуждание по точкам с целочисленными координатами прямоугольника , задаваемое уравнениями (3.1.2) – (3.1.8). Равенство (3.1.13) есть циклическое условие Колмогорова (2.2.18) для четырехзвенных путей, проходящих через вершины элементарного квадрата и идущих из в по и против часовой стрелки. Равенство (3.1.14) есть условие Колмогорова для -звенных путей, проходящих через вершины прямоугольника и ведущих из в по и против часовой стрелки. Это доказывает необходимость условий (3.1.13) и (3.1.14) для обратимости, а значит (по лемме 3.1) ограниченной -квазиобратимости изолированного узла в фиктивной окружающей среде. Предположим, что (3.1.13), (3.1.14) выполнены. Любой замкнутый путь из в без самопересечений либо а) представляет собой некоторую однозвенную замкнутую дугу, либо б) проходит по границе некоторой фигуры, составленной из конечного числа примыкающих друг к другу элементарных квадратов и определенных выше - звенных прямоугольников. Для случая а) циклическое условие (2.2.18) выполняется автоматически. В случае б) перемножим равенства (3.1.13) для всех элементарных квадратов и равенства (3.1.14) для всех прямоугольников, из которых состоит упомянутая фигура. При этом интенсивности перехода для тех направленных дуг, которые не принадлежат границе фигуры, войдут множителями как в левую, так и в правую части. После сокращения на них получится циклическое условие (2.2.18) для путей, идущих по границе фигуры по и против часовой стрелки. Достаточность условий (3.1.13) и (3.1.14) доказана.

Докажем, что стационарное распределение изолированного узла в фиктивной окружающей среде имеет форму (3.1.15), (3.1.16). Полагая в (3.1.11) получим:

откуда получаем

Из (3.1.10) для находим, что

Для таких же из (3.1.10) также следует, что

в частности,