Курсовая работа: Замкнутые сети с многорежимными стратегиями обслуживания

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний является неприводимым, то он эргодичен по эргодической теореме Маркова [5]. В [42] для замкнутых сетей с «заявкосохраняющими» узлами установлено, что для мультипликативности стационарного распределения достаточно, чтобы нетерминальные узлы являлись ограниченно -квазиобратимыми. Поэтому, с учетом условия ограниченной -квазиобратимости для изолированного узла, которое в силу леммы 3.2 для узла с номером принимает форму (3.1.13), (3.1.14), имеет место первое утверждение теоремы.

Наконец, поскольку сумма всех стационарных вероятностей должна быть равна единице, то подставляя в равенство

вместо произведение (3.1.9) и учитывая (3.1.15), (3.1.16), после очевидных преобразований получим

откуда вытекает (3.1.27). Теорема доказана.

Замечание 3.1 . Если условия (3.1.13), (3.1.14) выполнены во всех узлах, то получается следующий алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:

1. Решается система линейных уравнений (3.1.1). В качестве используемого в дальнейшем набора берется любой набор со строго положительными координатами.

2. Проверяется выполнение условий (3.1.13), (3.1.14).

3. По формуле (3.1.27) определяется постоянная нормировки .

4. Определяются с помощью соотношений (3.1.15), (3.1.16).

5. Находится стационарное распределение состояний сети с помощью формулы (3.1.9).

Отметим также, что если в сети есть узлы, в которых условия (3.1.13), (3.1.14) не выполняются, то алгоритм существенно усложнится, так как в этих узлах нельзя применить (3.1.15), (3.1.16). Поэтому для таких узлов необходимо добавить процедуру численного решения системы уравнений (3.1.2) – (3.1.8). При этом изменится также выражение для подсчета нормирующей постоянной . Известно, что наиболее трудоемким этапом при вычислении стационарного распределения для замкнутых сетей является этап подсчета нормирующей постоянной. Существуют различные численные процедуры, разработанные для ее вычисления, например, анализ средних значений [10], или алгоритм, рекуррентный по времени [4,10].

2. Примеры замкнутых сетей с переключением режимов

В 3.1 рассматривалась весьма общая модель замкнутой сети с многорежимными стратегиями. Здесь мы рассмотрим несколько полезных для различных приложений частных случаев этой модели. Во всех рассматриваемых ниже примерах предполагается, что для выполняется при и при .

Случай . Пусть для всех выполняется для и для , а также для и для . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается . Теорема 3.1 принимает следующий вид.

Следствие 2.1. Марковский процесс эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия

Множители в (3.1.9) имеют форму

а постоянная нормировки имеет вид

Случай . Во многих практических ситуациях переход с одного режима работы на другие невозможен, когда в узле нет заявок. Поэтому пусть для всех выполняется при . Пусть также для всех выполняется для и для , а также для и для . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается .

Следствие 2.2. Марковский процесс эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия