Курсовая работа: Звук: физика, химия, биология
Величина натяжения, возникающего в струне вследствие упругости, может быть вычислена по закону Гука. Будем рассматривать малые колебания струны и пренебрегать квадратом ux по сравнению с единицей.
Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытываемое участком струны (x 1 , x 2 ). Длина дуги этого участка равна
Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения T в каждой точке не меняется со временем. Покажем также, что натяжение не зависит и от x , т. е.
Найдем проекции натяжения на оси x и u (обозначим их Tx и Tu ):
где α – угол касательной к кривой u (x , t ) с осью x . На участок (x 1 , x 2 ) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инерции. Сумма проекции всех сил на ось x должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так как силы инерции и внешние силы по предположению направлены вдоль оси u , то
(1)
Отсюда в силу произвольности x 1 иx 2 следует, что натяжение не зависит от x , т. е. для всех значений x и t
(2)
Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения участка струны (x 1 , x 2 ) по оси u равна
где ρ – линейная плотность струны. Приравняем изменение количества движения за промежуток времени ∆t = t 2 - t 1
импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения
в точках x 1 и x 2 и внешней силы, которую будем считать непрерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) F (x , t ), рассчитанной на единицу длины. В результате получим уравнение поперечных колебаний элемента струны в интегральной форме
(3)
Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от u (x , t ). Тогда фотмула (3) после двукратного применения теоремы о среднем примет вид
где
Сократим на ∆x ∆t и переходя к пределу при x 2 → x 1 , t 2 → t 1 , получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны
(4)
В случае постоянной плотности ρ = const этому уравнению обычно придают вид
(5)
где