Курсовая работа: Звук: физика, химия, биология
есть плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсутствии внешней силы получим однородное уравнение
или
описывающее свободные колебания струны. Это уравнение является простейшим примером уравнения гиперболического типа.
Если в точке x 0 (x 1 < x 0 < x 2 ) приложена сосредоточенная сила f 0 (t ) (рис. 2), то уравнение (3) запишется так:
Поскольку скорости точек струны ограничены, то при x 1 → x 0 и x 2 → x 0 интегралы в левой части этого равенства стремятся к нулю, и равенство (3) принимает вид
(7)
Пользуясь теоремой о среднем, сокращая обе части равенства на ∆t и переходя к пределу при t 2→ t 1 получим:
Отсюда видно, что в точке приложения сосредоточенной силы первые производные претерпевают разрыв и дифференциальное уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполняться два условия сопряжения
(8)
второе из которых выражает непрерывность струны, второе определяет величину излома струны в точке x 0 , зависящую от f 0 (t ) и натяжения T 0 .
Теперь рассмотрим задачу о поперечных колебаниях струны, закрепленной на концах. В этой задаче u (x , t ) дает отклонение струны от оси x . Если концы струны 0 ≤ x ≤ l закреплены, то должны выполняться «граничные условия»
u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0.
Так как процесс колебания струны зависит от её начальной формы и распределения скоростей, то следует задать «начальные условия»:
Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где φ(x ) и ψ(x ) – заданные функции точки.
Эти условия вполне определяют решение уравнения колебания струны
2.2 Метод Фурье для уравнения колебаний ограниченной струны.
Начальные условия:
Граничные условия:
Решение: