Лабораторная работа: Будування математичної моделі економічної задачі і розвязання її за допомогою графічного метода

Два вироби В₁ і В₂ обробляються послідовно на двох верстатах. Кожен виріб типу В₁ потребує 1 год. для обробки на І-му верстаті, 2 год. — на ІІ-му і А = 5^(1/2) = 2,236068 год. — на ІІІ-му. Кожен виріб типу В₂ потребує 2 год. для обробки на І-му верстаті, А = 5 год. — на ІІ-му і 3 год. — на ІІІ-му. Час роботи на І-му верстаті не повинен перевищувати 10*5 = 50 год., на ІІ-му — 15*5 = 75 год., на ІІІ-му — 50 год.

Необхідно:

Скласти план виробництва при максимальному прибутку, якщо відомо, що продаж одного виробу типу В₁ приносить прибуток 5 грн, а типу В₂ — 3 грн.

Для цього:

1). Побудувати математичну модель задачі лінійного програмування.

2). Звести дану задачу до канонічного вигляду.

Розв'язок

Введемо умовні позначення:

кількість змінних задачі (типів виробів) — n = 2;

змінні задачі оптимізації: х₁ — кількість виробів типу В₁ , х₂ — кількість виробів типу В₂ ;

кількість обмежень-нерівностей (верстатів) — m = 3;

коефіцієнти а_ij обмежень-нерівностей (час обробки виробів j на верстатах i): а₁₁ = 1, а₂₁ = 2, а₃₁ = 2,236068; а₁₂ = 2, а₂₂ = 5, а₃₂ = 3;

праві частини b_і обмежень-нерівностей (максимальний час роботи і-го верстату) — b₁ = 50, b₂ = 75, b₃ = 50;

коефіцієнти с_j цільової функції Z (прибуток), що максимізується — с₁ = 5, с₂ = 3.

Одиниці вимірювання ті самі, що й в умові завдання.

1. Отже, використовуючи наведені вище дані, сформулюємо вихідну математичну модель задачі лінійного програмування: знайти кількості х₁ , х₂ виробів В₁ , В₂ такі, що максимізували б прибуток (цільову функцію)

Z = с₁ х₁ + с₂ х₂ → max

за обмежень на час роботи верстатів

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ ≤ b₁

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ ≤ b₂

а₃₁ х₁ + а₃₂ х₂ ≤ b₃

і, звісно, додатних значеннях змінних задачі — х_і ≥ 0, і = 1, 2.

Підставляючи сюди вихідні дані, отримаємо шукану модель (1):

х₁ + 2х₂ ≤ 50,

2х₁ + 5х₂ ≤ 75, (1)

2,236068х₁ + 3х₂ ≤ 50;

Z = 5х₁ + 3х₂ → max.

2. Аби звести дану задачу до канонічного (стандартного) вигляду

Z = СХ → mах; АХ = В; Х ≥ 0, (2)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--