Лабораторная работа: Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Таким образом, получаем, что при выполнении условия

çg¢(C_* ) ç<1(6)

последовательность (3) будет сходиться к корню с линейной скоростью a=1. Условие (6) является условием сходимости метода простой итерации. Очевидно, что успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция .

Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения вида x =a² , можно положить

x=g₁ (x)=a/x (7а)

или

x=g₂ (x)=(x+a/x)/2.(7б)

Нетрудно показать, что

½g₁ ^' (C)½=1,

½g₂ ^' (C)½<1.

Таким образом, первый процесс (7а) вообще не сходится, а второй (7б) сходится при любом начальном приближении С₀ >0.

Рис. 2. Графическая интерпретация метода простых итераций для решения уравнения вида x=g(х).

Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3)

С₀ , С₁ , …, С_n = C_*

приведено на рисунке 2.

2.3 Метод Ньютона

В литературе этот метод часто называют методом касательных, а также методом линеаризации. Выбираем начальное приближение С₀ . Допустим, что отклонение С₀ от истинного значения корня С_* мало, тогда, разлагая f(C_* ) в ряд Тейлора в точке С₀ , получим

f(C_* ) = f(C₀ ) + f¢(C₀ ) (C_* -C₀ ) +¼(8)

Если f¢(C₀ ) ¹ 0 , то в (8) можно ограничится линейными по DC =C-C₀ членами. Учитывая, что f(C_* )=0, из (9) можно найти следующее приближение для корня

C₁ = C₀ – f (C₀ ) / f¢(C₀ )

или для (n+1)-го приближения

C_n+1 = C _n – f (C _n ) / f ¢(C _n ) (9)

Для окончания итерационного процесса можно использовать одно из двух условий

çC_{n +1} – C_n ç<e

или

çf(C_{n +1} ) ç<e.

Исследование сходимости метода Ньютона проводится аналогично предыдущему случаю. Самостоятельно получить, что при выполнении условия

½f^'' (C)/2f'(C)½<1.

метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости ().