Лабораторная работа: Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Рассмотрим два основных итерационных метода решения системы уравнений (1), (2) - метод простой итерации и метод Ньютона.

2. Методы решения системы нелинейных уравнений

2.1.Метод простой итерации

Представим систему (1) в виде

(3)

или в векторной форме:

(4)

Алгоритм метода простой итерации состоит в следующем. Выберем некоторое нулевое приближение

Следующее приближение находим по формулам:

или более подробно:

(5)

Итерационный процесс (5) продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е.

На практике часто вместо последнего условия используют неравенство:

(6)

где - среднеквадратичная норма n-мерного вектора , т.е.

При использовании данного метода успех во многом определяется удачным выбором начального приближения : оно должно быть достаточно близким к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Если процесс сходится, то его скорость сходимости является линейной.

2.2. Метод Ньютона

В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации.

Пусть известно некоторое приближение к корню , так что

Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом:

Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки и ограничиваясь линейными членами по отклонению , получим:

,

или в координатной форме:

(8)

Систему (8) можно переписать в виде:

(9)

Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений