Научная работа: Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки

Вектор перемещений узловых точек конечного элемента в случае осесимметричной деформации имеет вид:

.(8)

Произвольная точка элемента получает перемещения ur и uz в направлении осей r и z . Поэтому матрица u имеет вид:


.(9)

Узловые перемещения и u связаны между собой матрицей аппроксимирующих функций N :

(9’)

Наиболее распространен способ получения приближённых решений на основе использования вариационного уравнения по методу Релея - Ритца. Он заключается в том, что функции перемещений задаются в виде интерполяционного полинома. Если ограничиться полиномом первой степени, то эти функции будут иметь вид:

(10)

Здесь ai - произвольные постоянные. При линейной аппроксимации стороны треугольника после деформирования элемента остаются прямыми.

Выразим ai через перемещения узлов элемента. В результате матрица N примет вид:

(11)

S - площадь сечения элемента:

,(12)

где ri , zi - координаты i -го узла в соответствующих осях.

Деформированное состояние в любой точке тела описывается тензором малых деформации Коши:

(13)

В условиях осесимметричной задачи тензор деформации второго ранга сводится к вектору:

(14)

компоненты которого выражаются через производные перемещений по соответствующим координатам:

.(15)

Связь между составляющими векторов деформации и перемещений можно представить одним матричным равенством:

(16)

где B – матричный дифференциальный оператор:

.(17)

Используя (16) и (17), можно выразить деформации через узловые перемещения

.(18)

Матрица функций формы C для осесимметричной деформации:

.(19)

Коэффициенты матрицы C зависят от координат r и z точки внутри элемента. Для треугольника с узлами в вершинах координаты r и z можно заменить средними по элементу значениями:

К-во Просмотров: 326
Бесплатно скачать Научная работа: Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки