Научная работа: Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки
где r – радиальная степень свободы; z – осевая; k – тангенс угла наклона границы.
В матричном представлении это означает, что в матрицу жёсткости добавляется дополнительная строка с единицей на позиции, соответствующей номеру запрещённой степени свободы. Для наклонной границы используется соотношение:
(50)
То есть в ячейки, соответствующие степеням свободы r и z данного узла, вносятся стоящие при них в уравнении (50) коэффициенты. Таким образом, удовлетворяется уравнение связи (49).
Рис. 3. Ограничения неподвижных границ
Подвижная граница перемещается в заданном направлении (вертикальном или горизонтальном, в зависимости от вида процесса) на величину DH на каждом шаге:
(51)
где H – полный ход инструмента; i – число шагов решения.
Если после очередного перемещения границы какой-либо узел (или несколько) может оказаться “в теле” инструмента, то ему назначается принудительное перемещение на величину Dh :
или
(52)
Здесь R, Z – координаты подвижной границы; r, z – координаты узла.
Таким образом, перемещение узла в направлении перпендикулярной границе степени свободы будет обеспечивать его движение вместе с границей, включая момент касания. В этом случае перемещение узла перпендикулярно границе не запрещается, а подчиняется равенствам:
или
(53)
Для системы уравнений это означает внесение в соответствующие данному узлу ячейки матрицы жёсткости коэффициентов 0 и 1 в зависимости от направления движения и в правую часть величины Dh .
Рис. 4Ограничения подвижных границ
Подвижная наклонная граница моделируется так же, как подвижная вертикальная или горизонтальная. Возникающая при этом ошибка, связанная со смещением узла вдоль границы минимизируется последовательными приближениями (см. Рис. 5).
Рис. 5. Процедура уточнения положения узла при смещении его подвижным инструментом
7. Трение
При пластическом формоизменении на границе контакта материала и инструмента возникает сила трения. При этом направление течения материала зависит от величины силы трения, то есть направление силы трения на границе контакта заранее не известно и может изменяться.
Модуль напряжения трения определяется законом Кулона (54):
,(54)
где sN – нормальное напряжение на границе инструмента; m – коэффициент трения скольжения; t K – касательное к границе напряжение .
Рис. 6. Контакт конечного элемента заготовки с инструментом
При пластическом течении касательное напряжение в элементах tK , контактирующих с внешними телами (матрица или пуансон), не должно превышать предел текучести при сдвиге tS :
(55)
Для выполнения этого условия предложен следующий алгоритм расчёта. Для элемента, лежащего на границе, определяется касательное напряжение tK , по которому вычисляется узловая сила трения: