Научная работа: Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки

(31)

в пластической:

(32)

Здесь H – касательный модуль упрочнения. Коэффициент Ляме - l определяется формулой:

(33)

Таким образом, матрица материальных констант D имеет вид:

.(34)

Следует особо отметить, что использовать матрицу жёсткости в таком виде для пластического состояния можно, только связывая приращения деформации и напряжений, о чем было сказано ранее при выводе уравнения равновесия.

Зная текущее состояние элемента, предел текучести, накопленную деформацию и приращения внешних сил, можно определить изменение напряжённо-деформированного состояния на шаге приращения перемещений Du и сил DР , используя для вычисления K по формуле ( упругое или пластическое представление матрицы жёсткости.

4. Пластическая деформация

Пластическая деформация твердого тела рассматривается в рамках деформационной теории пластичности. Приняты следующие исходные положения:

¾ тело изотропно;

¾ относительное изменение объёма мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению: или ;

¾ полные приращения составляющих деформации D e_ij складываются из приращений составляющих упругой деформации D e_eij и пластической деформации D e_pij :

;

¾ девиаторы приращений напряжения и деформации пропорциональны: .

Напряжённо-деформированное состояние элемента на i+1 шаге характеризуется интенсивностью деформации e_i :

(35)

где e_ij - компоненты тензора деформации.

Если интенсивность деформации какого - либо конечного элемента превысила текущий предел упругости по деформациям , то этот элемент переходит из упругого в пластическое состояние. Если материал упрочняется при пластическом деформировании, то соответствующая пределу упругости деформация ε_е увеличивается на величину De_е (Рис. 7):

(36)

Вычисление предела упругости по деформациям , достигнутого на шаге k определяется суммированием:

.(37)

Имеется в виду, что в упругой области предел упругости не изменяется, его приращения не вычисляются и равны нулю.

Накопленная пластическая деформация определяется разностью интенсивностей полной деформации e_i и деформации e_e , соответствующей пределу упругости:

(38)

Излагаемые в дальнейшем итерационные методы для достижения удовлетворительной сходимости требуют соблюдения непрерывности и гладкости кривой упрочнения. Поэтому в конце упругого участка кривой упрочнения введён нелинейно упругий участок, на котором модуль упрочнения вычисляется по формуле:

,(39)

где - интенсивность деформации, соответствующая пределу пропорциональности.

Соотношение (39) выражает пропорциональное изменение модуля упрочнения при переходе от упругого состояния к пластическому. Предел упругости по напряжениям в этом случае будет определяться соотношением