Научная работа: Разбиение натурального ряда

сложим эти неравенства, не забывая про условие

Получим

откуда k<m+n<k+1

Но такого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти в обе последовательности.

Теперь предположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых натуральных чисел m и n должны выполняться неравенства

m < k <k+1< (m+1)

n < k <k+1< (n+1)

которые можно преобразовать к виду

складывая, получаем

откуда m+n<k и k+1<m+n+2 m+n<k и m+n>k-1

Такого для натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно, теорема доказана.

В следующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, при решении которых используются результаты данного параграфа.

§3. Упражнения

Упражнение 1

Пусть последовательность задана формулой

.Найти .

1 … 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50

Используя эту формулу, можно найти любое a.

Упражнение 2.

Вычислить

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
[(1+)n/2]	1	3	4	6	8	9	11	12	14	16	17	19	21	22	24	25	27	29
[(3+)n/2]	2	5	7	10	13	15	18	20	23	26	28	31	34	36	39	41	44	47

Упражнение 3