Научная работа: Разбиение натурального ряда

и

постройте последовательности, которые заполняют весь натуральный ряд без пропусков и перекрытий

, , …

…, , …

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Где

Упражнение 4

Найти явные формулы для возрастающих последовательностей и , заполняющих натуральный ряд без пропусков и перекрытий и удовлетворяющих соотношению при всех n= 1,2,3…

Итак, явные формулы для последовательностей доказаны.

§4. Геометрическая интерпретация

Удивительно простое и наглядное доказательство теоремы из § 1 получаем, если рассмотрим геометрическую интерпретацию.

Пусть, как и ранее, α и β – положительные иррациональные числа.

Причем . Тогда , откуда .

Нарисуем на листе бумаги, как на координатной плоскости прямую l, заданную уравнением у=(α-1)x, которое можно записать так же в виде x=(β-1)y.

Занумеруем подряд все клетки, которые пересекают l, начиная с нулевой клетки, которой принадлежит начало координат (для … взято

α=)

Если мы обозначим числа, стоящие над линией за a- числа, а под линией за b – числа то получатся две последовательности, о которых мы говорили в §1.

Поскольку число α иррационально, прямая l не проходит через узлы сетки. Значит, l входит в очередную клетку либо слева, пересекая вертикальную линию сетки, либо снизу, пересекая горизонтальную линию.

Если l вошла в клетку слева и пересекла при этом вертикаль х=n, то номер клетки, в которую при этом вошла прямая равен n+[( α-1)n]=[ αn].

Если же прямая l пересекла снизу горизонталь y=m, то номер соответствующей клетки равен [(β-1)m]+m=[βm].

§5. Некоторые приложения. Палиндромы

Обозначим натуральные числа принадлежащие последовательности a буквой А, а принадлежащие последовательности - буквой В.построим последовательность.