На рисунке 4 изображена кардиограмма работы человеческого сердца. Ее можно считать графиком изменения электрического потенциала на волокнах сердечной мышцы во время сердечного цикла.

Рассмотрим функцию y = f( x), график которой изображен на схеме II. Что можно сказать о свойствах функции f, глядя на график?

1) Спроектируем точки графика на ось х. Мы получим отрезок [а; б]. Этот промежуток является областью определения функции. Действительно, каждая прямая, параллельная оси у, проходящая через точку этого отрезка, пересекает график ровно в одной точке; вертикальные прямые, проходящие через точки х вне отрезка [а; б], график не пересекают.

2) Рассмотрим точки пересечения графика с осью х. На чертеже это х₁ , х₂ , х₃ , х₄ . В этих точках функция обращается в нуль. Числа х₁ , х₂ , х₃ , х₄ .являются решениями уравнения f( x) = 0 и называются корнями функции (или ее нулями).

3) Корни функции f разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Функция положительна на промежутках [а;х₁ ), (х₁ ;х₂ ), (х₄ ; b] и отрицательна на промежутках (х₁ ;х₂ ), (х₃ ;х₄ ).

Объединение промежутков представляет [а;х₁ ), (х₂ ;х₃ ), и (х₄ ; b] собой решение неравенства f (х) > 0, а объединение промежутков (х₁ ; х₂ ) и (х₃ ;х₄ ) .— решение неравенства f( x)<0.

4) График функции можно сравнить с профилем дороги, которая то поднимается в гору, то опускается в ложбину. Самые верхние и самые нижние точки этой дороги («вершины») играют важную роль при описании графика. Они соответствуют значениям аргумента, обозначенным на графике т₁ , т₂ , т₃ .

Производная и ее применение

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀ , удобно выражать разность f (х) — f (х₀ ) через разность х — х₀ , пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀ . Разность х — х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается ∆х ;. Таким образом,

∆х=х-х₀ ,

откуда следует, что х=х₀ +∆х

Говорят также, что Первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение ∆х . Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f( x) – f( x₀ ) = f( x₀ + ∆х) – f( x₀ )

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀ , соответствующим приращению ∆х , и обозначается символом ∆f (читается «дельта эф»), т. е. по определению

∆ f = f( x₀ + ∆х) – f( x₀ )

откуда

f( x) = f( x₀ + ∆х) = f( x₀ ) ∆f

Обратите внимание: при фиксированном x₀ приращение ∆f есть функция от ∆х.

∆ f называют также приращением зависимой переменной и обозначают через ∆у для функции y = f(x).

Пример : Дан куб с ребром а . Выразим погрешность ∆V , допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна ∆х. По определению приращения х = a + ∆ x , тогда

Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл приращений ∆х и ∆ f (приращение ∆f обозначают также ∆у) можно понять, рассмотрев рисунок 80.

Прямую l , проходящую через любые две точки графика функции l , называют секущей к графику f . Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х₀ ; y0 ) и (х; у ), равен .

Его удобно выразить через приращения ∆х и ∆у.

(Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx+b равен тангенсу угла а , который эта прямая образует с осью абсцисс.)

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [ t₀ ; t₀ +∆ t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата х(t) , то