Эта формула верна и для ∆ t<0 (для промежутка [t₀ + ∆ t; t₀ ]). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно х (t₀ ) — x(t₀ + ∆x); длительность промежутка времени равна —∆ t, и, следовательно,

Аналогично выражение называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x₀ и x₀ + ∆х.

Первообразная и интеграл

Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна 0, т. е. u (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь

(1)

Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:

(2)

Второе дифференцирование дает ускорение:

т. е. ускорение постоянно.

Более типично для механики иное положение: известно ускорение точки a(t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости u (t), а также найти координату s (t). Иными словами, по заданной производной u′(t), равной a (t), надо найти u ( t), а затем по производной s′(t), равной u (t), найти s (t).

Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение . Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F'(x)=f(x).

Показательная и логарифмическая функции

1. Определение корня. С понятием квадратного корня из числа, а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень п-й степени из числа а, где п — произвольное натуральное число.

Определение . Корнем п-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а.

Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3, так как З³ = 27. Числа 2 и - 2 являются корнями шестой степени из числа 64, поскольку 2⁶ = 64 и (- 2)⁶ = 64.

Согласно данному определению корень п-я степени из числа а — это решение уравнения х^п = а. Число корней этого уравнения зависит от п и а . Рассмотрим функцию f (х) = х^п . Как известно, на промежутке [0; ∞) эта функция при любом п возрастает и принимает все значения из промежутка [0; ∞). По теореме о корне уравнение х^п = а для любого а [0; оо) имеет неотрицательный корень и притом только один. Его называют арифметическим корнем п-й степени из числа an обозначают ; число п называется показателем корня, а само число а — подкоренным выражением. Знак корня √ называют также радикалом.

Определение. Арифметическим корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число, п-я степень которого равна а.

При четных п функция f( x) = xⁿ четна. Отсюда следует, что если а>0, то уравнение х^п = а, кроме корня х₁ = , имеет также корень х₂ = - ,. Если а = 0, то корень один: х = 0; если а<0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа а ; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней -четной степени из отрицательных чисел не существует.

При нечетных значениях п функция f( x) = xⁿ возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение х^п — а имеет один корень при любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают

Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство

В самом деле,

т.е. число —есть корень n-й степени из — а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно,

Равенство (при нечетном п ) позволяет выразить корень нечетной степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени. Например,.