Реферат: Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле

Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера χ₀ (n).

Следствие. L(s, χ) — аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным

Если характер χ(n) является производным, aχ₁ (n) — примитивный характер по модулю k₁ , k_t \k, отвечающий χ(n), то L(s, χ)лишь простым множителем отличается от L(s, χ₁ ).

Лемма 1.3. Пусть χ₁ — примитивный характер по модулю k₁ и χ — индуцированный χ₁ производный характер по модулю k, k_t ≠ k. Тогда при Res> 1

Доказательство леммы следует из (1) и свойств χ₁ и χ.

Функцию L(s, χ) можно продолжить в полуплоскость Res> 1

Лемма 1.4. Пусть χ≠χ₀ , тогда при Res>0 справедливо равенство

Где

Доказательство. Пусть N ≥1, Res>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь

Где

Переходя к пределу N → +∞, получим (8) при Res>l. Но |S(x)|≤φ(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Res> 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.

§2. Функция θ( x ,χ), её функциональное уравнение

Функциональное уравнение будет получено для L(s, χ)с примитивным характером χ; тем самым и в силу леммы 3 L(s, χ) будет продолжена на всю s-плоскость при любом χ. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер χ, т. е. χ(-1)=+1 или χ(-1)=–1

Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, χ) и продолжить L(s, χ) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для θ(х) (см. лемму 3, IV).

Лемма 2.1. Пусть χ — примитивный характер по модулю k. Для четного характера χ определим функцию θ (x, χ) равенством

а для нечетного характера х определим функцию θ₁ (x, χ) равенством

Тогда для введенных функций θ (x, χ) и θ₁ (x, χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):

где τ(χ) — сумма Гаусса.