Реферат: Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле

Доказательство, по—существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).

Предположим, что χ(-1)=+1. Имеем

Умножая последнее равенство на χ (п) и суммируя по п, при Res > 1 получим

Ввиду того, что χ — четный характер, имеем

Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х → 1/х) и пользуясь (6), найдем

Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом sи, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость. Так как Г(s/2)≠0, то L(s, χ) — регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 — s и χ на , правая часть (10) умножается на , так как χ(— 1)=1 и, следовательно, τ(χ) τ()= τ(χ) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 0.

Предположим, что χ(—1) = —1. Имеем

Следовательно, при Res > 1

Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 — s и χ на, умножается на iввиду того, что

τ(χ) τ()= —k.

Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 1. Теорема доказана.

Следствие. L(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤ 0 являются полюсы Г , т. е. точки s = 0, —2, —4, ...;

если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) приRes≤ 0 являются полюсы Г т. е. точки s = —1, —3, —5, .. .

дирихле тривиальный вейерштрасс риман

§5. Нетривиальные нули L -функции Дирихле

Тривиальные нули L-функции Дирихле

ξ(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы ,т. е. точки s =0, —2. —4, ...; если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы т.е. точки s = —1,-3, -5, .. .

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1 . Пусть a₁ , ..., а_п , ... — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a₁ | ≤ |a₁ | ≤...≤|а_n |<...

И lim= 0.