Реферат: Аналогии в курсе физики средней школы

При механических колебаниях периодически изменяются координата тела x и проекции его скорости , а при электромагнитных колебаниях меняются заряд конденсатора q и сила тока в цепи i. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых порождаются механические и электромагнитные колебания. Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости F , пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k. Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением U между пластинами конденсатора, которое пропорционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина , обратная емкости, так как =q.

Подобно тому как вследствии инертности тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием силы и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L играет туже роль, что и масса тела m в механике. Соответственно кинетической энергии тела отвечает энергия магнитного поля тока , а импульсу тела mv отвечает поток магнитной индукции Li .

Зарядке конденсатора от батареи соответствует сообщение телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии при смещении тела на расстояние от положения равновесия (рис. 1,а).

Сравнивая это выражение с энергией конденсатора , замечаем, что жесткость k пружины играет при механическом колебательном процессе такую же роль, как величина , обратная емкости, при электромагнитных колебаниях, а начальная координата соответствует заряду .

Возникновение в электрической цепи тока i за счет разности потенциалов соответствующих появлению в механической колебательной системе скорости под действием силы упругости пружины (рис.1,б). Моменту, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, соответствует прохождение тела через положение равновесия с максимальной скоростью (рис.1.в). Далее конденсатор начнет перезаряжаться, а тело смещаться влево от положения равновесия (рис.1,г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю. Этому состоянию соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис.1,д).

Рассмотренные выше колебания являются свободными. Здесь не учтено, что в любой реальной механической системе существуют силы трения.

Таким образом, соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно представить в виде таблицы 1

Выведем уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре и колебаний горизонтального пружинного маятника. Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, получим равенство: + , где

, , тогда имеем

(1)

Так как

и получаем

=const (2)

Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i = q ' - мгновенное значение силы тока, q_max - максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вы­вод о зависимости силы тока от величины за­ряда и находим значение максимальной силы тока:

; Откуда

при q=0.

Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми.

Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.

Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.

или

(3)

Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.

Вычисляя обе производные получаем:

так как , тогда

и

получаем

(4)

Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.

Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.

Выведем груз из положения равновесия, рас­тянув пружину на длину Х_m (рис.2) и от­пустим. (Амплитудное растяжение пружины X_m должно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)

Рис.2

Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -x_m £x£x_m . По закону сохраненья энергии имеем:

(5)

где X₀ = mg/ k - статическое растяжение пру­жины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равно­весия груза, обозначенного на рис. 2 пункти­ром). Учитывая, что и , получим уравнение колебаний