Реферат: Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Величину r_n (x) называет остаточным членом . Видно, что при тех же значениях х, для которых r_n (x) достаточно мал, вместо f(x) можно рассматривать многочлен P_n (x).

Оценим величину остаточного члена r_n (x). Запишем его в виде , где Q(x)- функция, которую нужно определить. Формула примет вид:

При фиксированных значениях а и х функция Q(x) имеет определённые значения, которые обозначаются через Q.

Рассмотрим вспомогательную функцию переменной t (a<t<x)

Применяя правила дифференцирования алгебраической суммы и произведения двух функций, находим производную функции F(t) по аргументу t.(x и а- фиксированные, следовательно, f(x)- постоянная).

Приведя подобные слагаемые, получим:

Из формулы функции F(t) видно, что F(x)=0 и F(a)=0. Воспользуемся свойством дифференцируемой функции:

Если дифференцируемая функция f(x) обращается в нуль при х=а и х=b, f(a)=0, f(b)=0, (ab), то между точками а и b найдётся по крайней мере одна т.с, в которой равна нулю производная данной функции: f’(c )=0. (т. Ролля).

Геометрически это означает, если в т. а и b f(a)=0 и f(b)=0, то такое, что в т. С(с,f(c )) касательная к графику y=f(x) параллельна оси ОХ.

y

f©

0 a c b X

Корнем или нулём функции называют такое значение аргумента х₀ , при котором функция f(x₀ )=0.

С учётом этого понятия указанное свойство можно сформулировать так: между двумя различными корнями дифференцируемой функции находится хотя бы один корень её производной (т. Ролля).

Поскольку F(x)=0 и F(a)=0, то к функции F(t) можно применить свойство:

Так как с заключено между а и х, то его можно представить в виде

Говорят, что это равенство выражает остаточный член формулы в форме Лагранжа. Подставим его в формулу:

Эту формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если а=0, то

Формула Тейлора для функций sinx, cosx, e^x

Выведем формулы Тейлора для элементарных функций f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=e^x .

Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Найдём производную n+1- го порядка.

Вычислим значение функции и её производной при х=0.

Подставим эти значения в формулу Тейлора:

2.Аналогично находим формулу Тейлора для f(x)=cosx.