Реферат: Численные методы вычисления интегралов
Численные методы вычисления интегралов. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса
1. Численные методы вычисления интегралов. Постановка задачи
Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций 
. Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.
Прежде всего, рассмотрим случай, когда 
- конечный интервал.
В таком случае, как известно, функция является ограниченной, т.е. 
. В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от 
заменяется некоторой линейной комбинацией значений 
в 
точках 
:
(1)
Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты 
- квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы 
- узлами квадратурной формулы.
Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения 
были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.
2. Методы Ньютона-Котеса
Пусть 
различные точки отрезка , служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию 
функции 
. Тогда имеем:
(2)
где 
- остаточный член. Предположим, что
(3)
причём 
подобраны так, чтобы все интегралы
(4)
можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу
(5)
2.1 Формула трапеций
|
|
 |
Рис. 1.
а) графический вывод:
Определённый интеграл 
, как известно, задаёт площадь 
криволинейной трапеции 
, поэтому, вписав ломаную в дугу кривой 
, мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:
(6)
Между тем, очевидно, что
(7)
Так как, в методах Ньютона-Котеса, 
, учитывая (6) получаем:
(8)
или, соединяя подобные члены, имеем:
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--