Реферат: Числові послідовності Границя основні властивості границь Нескінченно малі і нескінченно вели

Д о в е д е н н я. Нехай Тоді

де і - нескінченно малі послідовності.

Додавши почленно ці рівності, дістанемо:

Отже, вираз ми подали у вигляді суми сталого числа

і нескінченно малої Тому існує та

Зауваження . Теорема справедлива й для випадку всякого скінченого числа збіжних числових послідовностей.

Теорема 2 . Добуток двох збіжних послідовностей і є збіжна послідовність, її границя дорівнює добутку границь даних послідовностей.

Д о в е д е н н я. За умовою теореми

Тому де - нескінченно малі послідовності.

Тоді

Із властивостей нескінченно малих виводимо, що послідовність

- нескінченно мала.

Звідси

тобто

Теорему доведено.

Зауваження. Теорема справедлива й у випадку добутку всякого скінченого числа збіжних послідовностей.

Наслідок 1 . Якщо послідовність має скінчену границю, то при всякому сталому маємо:

або сталий множник можна виносити за знак границі.

Наслідок 2 . Якщо і - натуральне число,

то

Теорема 3. Якщо послідовності і збігаються, причому і то

послідовність збігаються і її границя дорівнює відношенню

границь послідовностей та

Д о в е д е н н я. За умовою теореми