Реферат: Числові послідовності Границя основні властивості границь Нескінченно малі і нескінченно вели

Теорема 1 . Якщо послідовність

(5.10)

є монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

5. Порівняння нескінченно малих величин

Іноді доводиться розглядати не одну, а декілька нескінченно малих функцій в даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення. Знайти границю такого відношення за відомими теоремами про нескінченно малі і про границі не можна. Це не випадково. Відношення двох нескінченно малих, залежно від характеру зміни порівнюваних між собою нескінченно малих, може вести себе по-різному: воно може бути або величиною, що прямує до скінченої, відмінної від нуля границі, або величиною нескінченно малою, або нескінченно великою, або величиною, яка має границі.

Кожне із цих чотирьох випадків має свою назву. Нехай і є нескінченно малі функції в точці .

Означення.1. Якщо

,

то і в точці називаються нескінченно малими однакового порядку малості.

Приклади.

1. Нехай . При і

і прямують до нуля. Знайдемо

Отже, функції і є нескінченно малі однакового порядку малості в точці .

2. Нехай

і .

Знайдемо

.

Отже, функції і на нескінченності однакового порядку малості.

3. Нехай ,

і .

Знайдемо

.

Отже, функції і при нескінченно малі однакового порядку малості.

Означення 2. Якщо

,

то називається нескінченно малою вищого порядку малості, ніж . При цьому - нескінченно мала нижчого порядку малості, ніж .

Приклади.