Реферат: Числові послідовності Границя основні властивості границь Нескінченно малі і нескінченно вели

де - нескінченно малі послідовності.

Оскільки то де - стале число.

Надалі обмежимося тими членами послідовності які задовольняють попередній нерівності. Тоді

.

Послідовність є обмежена, оскільки

Послідовність є нескінченно мала. Таким чином, є нескінченно мала.

Тому

Теорему доведено.

При вивчені основних теорем про границі ми вважали, що числові послідовності і мають скінченні границі, причому при доведенні теореми про границю частки вважали, що границя дільника не дорівнює нулю.

Розглянемо випадок, коли і є нескінченно великі числові послідовності, тобто

Легко бачити, що арифметична сума і добуток цих послідовностей є також нескінченно велика числова послідовність. Проте нічого конкретного в загальному випадку не можна сказати про частку від ділення та різницю цих послідовностей. Частка від ділення таких послідовностей залежно від закону зміни і може

поводити себе по-різному. Кожного разу відношення треба досліджувати. Тому говорять, що відношення якщо є невизначеність. І цю невизначеність символічно позначають так:

Приклади .

1. Знайти

Р о з в ’ я з о к. Розкрити невизначеність В цьому випадку поступають так: чисельник і знаменник ділять на (від цього дріб не змінюється ), а потім застосовують теореми про границі частки і суми. Наведемо повний запис обчислення границі:

2. Знайти

Р о з в ’ я з о к.

3. Знайти

Р о з в ’ я з о к.

Сказане про частку стосується й різниці двох нескінченно великих числових послідовностей. Якщо то різницю називають невизначеністю виду

Приклад. Знайти

Р о з в ’ я з о к. Тут маємо невизначеність виду Для її розкриття позбавляємося ірраціональності у чисельнику.

Матимемо

З аналогічним фактом ми зустрічаємось у випадку відношення двох нескінченно малих числових послідовностей. Якщо то частка від ділення може також поводити себе по – різному. Цю невизначеність називають невизначеністю виду Цю, а також й інші невизначеності розглянемо в наступних параграфах.

6. Границя монотонної числової послідовності