Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку, розвязані відносно похідної

Означення 2.1.  Рівняння вигляду

(2.1)

називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обов’язкова).

Означення 2.2.  Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення 2.3.  Функція називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (2.1), якщо вона n -раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі і задовільняє диференціальному рівнянню (2.1) .

Приклад 2.1.   - диференціальне рівняння другого порядку.

При диференціальне рівняння (2.1) називається диференціальним рівнянням першого порядку і позначається

. (2.2)

Диференціальне рівняння (2.2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді

. (2.3)

Припускаємо, що однозначна і неперервна в деякій області D змінних x , y . Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (2.3).

Якщо в деякій області функція перетворюється в , то розглядають диференціальне рівняння

.

Множину таких точок, а також тих, в яких не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (2.3).

Поряд з (2.3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах

(2.4)

або в більш загальному виді

(2.5)

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі

(2.6)

Функції будемо вважати неперервними в деякій області.

Означення 2.4.  Розв’язком диференціального рівняння (2.3) в інтервалі І назвемо функцію , визначену і неперервно диференційовну на І , яка не виходить з області означення функції і яка перетворює диференціальне рівняння (2.3) в тотожність , тобто

Розв’язок називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.

Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.

Означення 2.5.  Будемо говорити, що рівняння

(2.7)

визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (2.3), якщо воно визначає , яка є розв’язком диференціального рівняння (2.3).

При цьому на розв’язках диференціального рівняння (2.3) виконується

. (2.8)

Означення 2.6  Будемо говорити, що співвідношення

(1.9)

визначають розв’язок диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі на інтервалі , якщо

. (2.10)

2. Задача Коші.

Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (2.3) знайти такий , який проходить через задану точку

(2.11)

Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції.

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (рис. 2.1) : знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку .

Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розв’язок, якщо число h >0 , що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .

Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--