Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку,

будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.

Означення 5.6. Розв’язок Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.

Означення 5.7. Розв’язок називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв’язку задачі Коші.

Аналогічно Д.Р., розв’язаним відносно , Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні особливими.

Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв’язок буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3).

Приклад 5.1.

(5.9)

З (5.9) маємо:

Тоді - загальний інтеграл.

або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 5.1).

Розв’язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля:; І через цю точку проходить два

, якщо (5.11)

і , якщо .

Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.

2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.

Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв’язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (5.1) до рівнянь (5.3) є недоцільність при визначені особливих розв’язків, так як .

Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді

, звідки (5.12).

Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові

(5.13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи

(5.14)

Розв’язок системи (5.14)

=0 (5.15)

дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.

Приклад 5.2.

(5.16)

, (5.17)

Співвідношення (5ю17) – дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час – через неї може проходити не одна .

5.3. Загальний метод введення параметра.

Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(5.18)

Так, що при всіх значеннях параметрів і .

Використовуючи (5.18) і співвідношення ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.

Тому

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

(5.19)

Якщо

(5.20)

– загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.

(5.21)