Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку,

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв ’ язку.

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд

(5.1)

Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку - ої степені.

Означення 5.1. Функція , визначена і

(5.2)

неперервнодиференційовна на називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в

тотожність

Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає як функцію і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).

Означення 5.3. Рівняння , ,, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо

Криві на ел., які відповідають розв’язкам, будемо називати

Задача Коші - задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови .

Означення 5.4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами має єдиний розв’язок, якшо через в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.

Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

Якщо функція задовільняє наступним умовам:

а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т.;

б);

в);

то Д.Р.(1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний в околі т , задовільняючий умови і такий, що

► Без доведення ◄

Припустимо, що розв’язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки

(5.3)

де визначені в обл. так, що маємо Д.Р. першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (5.3), різний. Так що різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на .

Нехай кожне Д.Р. (5.3) на має загальний інтеграл

(5.4)

Означення 5.5. Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .

Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують

(5.5)

Якщо поле на не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпали, то відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (5.3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).

В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв’язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство в вигляді

(5.6)

яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).

Якщо сімейство задано в вигляді

(5.7)

то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1)

Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв’язки Д.Р. виду (5.3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--