Реферат: Дисперсийный анализ

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ_j ² .

.

Между общей дисперсией σ₀ ² , внутригрупповой дисперсией σ² и межгрупповой дисперсией существует соотношение:

σ₀ ² = + σ² .

Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе [2].

1.2 Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

x_ij = μ + F_j + ε_{ij ,} (1)

где х_ij – значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,..., m) cj-м порядковым номером (j=1,2,...,n);

F_i – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;

ε_ij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня.

Основные предпосылки дисперсионного анализа:

- математическое ожидание возмущения ε_ij равно нулю для любых i, т.е.

M(ε_ij ) = 0; (2)

- возмущения ε_ij взаимно независимы;

- дисперсия переменной x_ij (или возмущения ε_ij ) постоянна для
любых i, j, т.е.

D(ε_ij ) = σ² ; (3)

- переменная x_ij (или возмущение ε_ij ) имеет нормальный закон
распределения N(0;σ² ).

Влияние уровней фактора может быть как фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).

Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли сущест­венные различия между партиями изделий по некоторому показа­телю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора - партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным парти­ям, которые привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие – фиксированные.

Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно n₁ ,n₂ , …, n_m изделий (для простоты полагается, что n₁ =n₂ =...=n_m =n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

x₁₁ x₁₂ … x_1n

x₂₁ x₂₂ … x_2n

………………… = (x_ij ), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).

x_{m 1} x_{m 2} … x_mn

Необходимо проверить существенность влияния партий из­делий на их качество.

Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения случайных величин Х₁ ,Х₂ ,...,Х_m , выражающих качество изделий и имеющих нор­мальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно a₁ ,а₂ ,...,а_m и одинаковыми дисперсиями σ² , то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀ : a₁ =a₂ =...= а_m , осуществляемой в дисперсионном анализе.

Усреднение по какому-либо индексу обозначено звездочкой (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня факто­ра, примет вид:

, (4)

где _i * – среднее значение по столбцам;

_ij – элемент матрицы наблюдений;

n – объем выборки.

А общая средняя: