Реферат: Дисперсийный анализ

Сумма квадратов отклонений наблюдений х_ij от общей средней выглядит так:

2=2+2+

+22. (6)

или

Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ .

Последнее слагаемое равно нулю

=0. (7)

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней равна нулю, т.е.

2=0.

Первое слагаемое можно записать в виде:

В результате получается тождество:

Q = Q₁ +Q₂ , (8)

где - общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассмат­риваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариа­ция показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент – Q₁ и Q₂ , характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q₁ ) и изменчивость внутри партий (Q₂ ), характеризующих одинаковую для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квад­раты, являющиеся несмещенными оценками соответствую­щих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравне­ний. Поэтому для среднего квадрата s₁₂ , являющегося несме­щенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k₁ =m-1, так как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5). А для среднего квадрата s₂₂ , являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k₂ =mn-m, т.к. при ее расчете используются все mn наблюдений, связанных между собой m уравнениями (4).

Таким образом:

= Q₁ /(m-1),

= Q₂ /(mn-m).

Если найти математические ожидания средних квадратов и , подставить в их формулы выражение x_ij (1) через парамет­ры модели, то получится:

(9)

т.к. с учетом свойств математического ожидания

а

(10)

Для модели I с фиксированными уровнями фак­тора F_i (i=1,2,...,m) – величины неслучайные, поэтому

M(S) =2 /(m-1) +σ² .

Гипотеза H0 примет вид F_i = F*(i = 1,2,...,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы

M(S)= M(S)= σ² .

Для случайной модели II слагаемое F_i в выражении (1) – величина случайная. Обозначая ее дисперсией

получим из (9)

(11)

и, как и в модели I

M(S)= σ² .

В таблице 1.1 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

Таблица 1.1 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
Межгрупповая		m-1	= Q1 /(m-1)
Внутригрупповая		mn-m	= Q2 /(mn-m)	M(S)= σ2
Общая		mn-1

Гипотеза H₀ примет вид σF² =0. В случае справедливости этой гипотезы

M(S)= M(S)= σ² .

В случае однофакторного комплекса как для модели I, так и модели II средние квадраты S² и S² , являются несмещенными и независимыми оценками одной и той же дисперсии σ² .