Реферат: Дисперсийный анализ

Гипотеза H0 отвергается, если фактически вычисленное зна­чение статистики F =S/Sбольше критического F_α :K₁ :K₂ , опреде­ленного на уровне значимости α при числе степеней свободы k₁ =m-1 и k₂ =mn-m, и принимается, если F < Fα:K₁ :K₂ .

F- распределение Фишера (для x > 0) имеет следующую функцию плотности (для = 1, 2, ...; = 1, 2, ...):

где - степени свободы;

Г - гамма-функция.

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы H₀ означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Для вычисления сумм квадратов Q₁ , Q₂ , Qчасто бывает удобно использовать следующие формулы:

(12)

(13)

(14)

т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.

Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H₀ о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к исследованию значимости различия средних в группах данных [1].

1.3 Многофакторный дисперсионный анализ

Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного ана­лиза (в варианте ее компьютерного использования) несом­ненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие [3].

Общая схема двухфакторного эксперимента, данные ко­торого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид:

Рисунок 1.1 – Схема двухфакторного эксперимента

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.

Предположив, что в рассматриваемой задаче о каче­стве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются ли существенные раз­личия в качестве изделий по каждому фактору:

А - партия из­делий;

B - станок.

В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все данные представлены в таблице 1.2, в кото­рой по строкам - уровни A_i фактора А, по столбцам — уровни B_j фактора В, а в соответствующих ячейках, табли­цы находятся значения показателя качества изделий x_ijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).

Таблица 1.2 – Показатели качества изделий

B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l ,…,x11k	x12l ,…,x12k	…	x1jl ,…,x1jk	…	x1ll ,…,x1lk
A2	x2 1l ,…,x2 1k	x22l ,…,x22k	…	x2jl ,…,x2jk	…	x2ll ,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l ,…,xi1k	xi2l ,…,xi2k	…	xijl ,…,xijk	…	xjll ,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l ,…,xm1k	xm2l ,…,xm2k	…	xmjl ,…,xmjk	…	xmll ,…,xmlk

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

x_ijk =μ+F_i +G_j +I_ij +ε_ijk , (15)

где x_ijk - значение наблюдения в ячейке ij с номером k;

μ - общая средняя;

F_i - эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;

G_j - эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;

I_ij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факто­ров, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (15);

ε_ijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.