Реферат: Движение в центрально-симметричном поле

Приведем несколько первых величин ( с положительными и отрицательными ):

, ,

, . (3,16)

Непрерывный спектр.

Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению соответствует бесконечное множество состояний с , пробегающими все целые значения от до ( и со всеми возможными, при данных , значениями ).

Определяемое формулами (3,3) число и переменная теперь чисто мнимы:

, , (3,17)

где . Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид

(3,18)

где - нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла

, (3,19)

который берется по контуру ( см. рис ниже ).

Подстановкой этот интеграл приводится к более симметричному виду

(3,20)

( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки ). Из этого выражения непосредственно видно, что функции вещественны.

Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции

(3,21)

Если нормировать волновые функции «по шкале » , то нормировочный коэффициент равен

(3,22)

Действительно, асимптотическое выражение при больших ( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид

,

(3,23)

в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако, растет при увеличении медленно по сравнению с самим , то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на бесконечности, наличие этого члена не существенно.

Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного множителя, может быть выражен через элементарные функции. Воспользовавшись известными свойствами Г-функций

, ,

имеем

,

и далее

.