Реферат: Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности

x₁ – x₂ – x₃ £ 4,

x₁ – 5x₂ + x₃ ³ 5, x_j ³ 0 (j = 1, 2, 3).

2x₁ – x₂ + 3x₃ ³6,

Рассматриваемая задача относится к симметричным двойственным задачам на отыскание минимального значения линейной функции. Для того чтобы было можно записать двойственную задачу, ее модель долж­на иметь вид (3). Переход осуществляется умножением первого не­равенства на -1.

Исходная задача:

Z_min = 2x₁ + x₂ + 5x₃ при ограничениях

-x₁ + x₂ + x₃ ³ -4,

x₁ – 5x₂ + x₃ ³ 5, x_j ³ 0 (j = 1, 2, 3).

2x₁ – x₂ + 3x₃ ³6,

Двойственная задача:

f _min = -4x₁ + 5x₂ + 6x₃ при ограничениях

-y₁ + y₂ + 2y₃ £ 2,

y₁ – 5y₂ - y₃ £ 1, y_i ³ 0 (i = 1, 2, 3).

2y₁ + y₂ + 3y₃ £ 5,

Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1.1. Если при подстановке компонент оптимального пла­на в систему ограничений исходной задачи i-e ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.

Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи по­ложительна, то i-e ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

5. Двойственный симплексный метод

В п. 2 и п. 3 настоящего параграфа было показано, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двой­ственной и используя оценки ее опти­мального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмо­треть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным ба­зисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках - двойственная. Причем оценками плана исходной задачи являются С _j а оценками плана двойственной задачи – b_i . Решим "двойственную задачу по симплексной таблице, в которой записана ис­ходная задача; найдем оптимальный план двойственной задачи, а вместе с ним и оптимальный план исходной задачи. Этот метод носит на­звание двойственного симплексного метода,

Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программиро­вания, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A₀ , Х ³ 0. Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA ₀ при YA £ С. Допустим, что выбран такой базис D = (A ₁ , А ₂ , ..., А _i , ..., А _m ), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D ^-1 A₀ = (x₁ , x₂ , ..., x_i , ..., x_m ) отрицатель­ная (например, x_i < 0), но для всех векторов A_j выполняется соотно­шение Z_j – C_j £ 0 (i = 1,2, ..., n). Тогда на основании теоремы двойственности Y = С _баз D^-1 - план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном бази­се X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двой­ственной задачи должны быть неотрицательными.

Таким образом, вектор А_i , соответствующий компоненте x_i < 0, следует исключить из базиса исходной задачи, а вектор, соответствую­щий отрицательной оценке,— включить в базис двойственной задачи.

Для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи, просмат­риваем i -ю строку: если в ней не содержатся x _ij < 0, то линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике реше­ний, а исходная задача не имеет решений. Если же некоторые x _ij < 0, то для столбцов, содержащих эти отрицательные значения, вычисля­ем q_0j = min (x_i /x_ij ) ³ 0 и определяем вектор, соответствующий maxq_0j (Z_j — C_j ) при решении исходной задачи на минимум и minq_0j (Z_j — C_j )при решении исходной задачи на максимум. Этот вектор и включаем в базис исходной задачи. Вектор, который необ­ходимо исключить из базиса исходной задачи, определяется направ­ляющей строкой.

Если q_0j = min (x_i /x_ij ) = 0, т. е. x_i = 0, то x _ij берется за раз­решающий элемент только в том случае, если x _ij > 0. Такой выбор раз­решающего элемента на данном этапе не приводит к увеличению коли­чества отрицательных компонент вектора X . Процесс продолжаем до получения Х ³ 0; при этом находим оптимальный план двойственной задачи, следовательно, и оптимальный план исходной задачи.

В процессе вычислений по алгоритму двойственного симплексного метода условие Z_j – C_j £ 0 можно не учитывать до исключения всех х _i < 0, затем оптимальный план находится обычным симплексным ме­тодом. Это удобно использовать, если все х _i < 0; тогда для перехода к плану исходной, задачи за одну итерацию необходимо q_0j определить не по минимуму, а по максимуму отношений, т. е. q_0j = max (x_i /x_ij ) > 0.

Двойственным симплексным методом можно решать задачи линей­ного программирования, системы ограничений которых при положи­тельном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограниче­ний, а также размеры симплексной таблицы.

6. Список используемой литературы

1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.

2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Наука», 1980 г.