Реферат: Энергетические характеристики гравитационных и магнитных аномалий

(1.18)

Для осесимметричных аномалий, т.е. когда функция f(x, y) зависит только от переменной , из формул (1.11), (1.12) и (1.16) соответственно получим

(1.19)

(1.20)

(1.21)

§ 2. Некоторые свойства и особенности применения энергетических спектров и корреляционных функций

Рассмотрим некоторые свойства и особенности применения энергетических спектров и корреляционных функции аномалий, которые будут широко использованы в последующих разделах.

1. Теорема Парсеваля

Пусть функция f(х) имеет спектр S(ω). Интегрируя по ω в бесконечных пределах обе части равенства (1.4), найдем

На основании равенства (1.3) получим

С учетом формулы (1.1) окончательно найдем

где учтено, что функция |S(ω)| — четная. Эту формулу обычно называют теоремой Парсеваля или теоремой Релея.

Аналогично для трехмерных аномалий на основании равенств (1.16), (1.12) и (1.10) для теоремы Парсеваля получим

Для трехмерных аномалий, симметричных относительно вертикальной оси, переходя к полярным координатам, отсюда найдем

Эту формулу можно получить и из равенства (1.21) (умножая обе его части на ρ и интегрируя по ρ в пределах от 0 до ∞) с учетом выражений (1.10) и (1.20).

Теорема Парсеваля, учитывающая величину полной энергии аномалий, имеет важное значение в гравиразведке и магниторазведке. Она использовалась в работах многих исследователей (К.В. Гладкий и др.). С ее применением В.Н. Страховым были получены ряд фундаментальных формул спектрального анализа гравитационных и магнитных аномалий.

2. Выражение энергетических спектрови корреляционных функций одних аномалийчерез другие

Пусть f_x (x, y), f_y (x, y), f_z (x, y) — производные по осям координат x, y и z от некоторой гравитационной или магнитной аномалии f(х, y) (от гравитационного или магнитного потенциала, от ускорения силы тяжести и т.д.). Тогда пользуясь теоремами о спектрах производной функции, после небольших преобразований получим:

(1.22)

Практически наиболее важными являются случаи f = U и f = V_z , где U — магнитный потенциал, V_z — ускорение свободного падения. Для этих случаев последнее равенство можно переписать в виде:

(1.23)

(1.24)

Из этих равенств можно определить (заменить) энергетический спектр одной из аномалий: X, Y, Z или V_xz , V_yz , V_zz через известные значения энергетических спектров других аномалий. Этот вывод можно перенести и на случай автокорреляционных функций:

(1.25)

. (1.26)