Реферат: Функция многих переменных

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных , функцииz = f (x ;у ) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

, ,

, .

Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.

Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.

План.

1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.

2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.

3. Локальные экстремумы функции высших порядков.

1. Пусть функция z = f (x ;у ) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x ;у ) вместе со своими частными производными (х ;у ),(х ;у ). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+ ;у+) принадлежала рассматриваемой окрестности.

Если полное приращение функции z = f (x ;у ) в точке М (x ;у )

= f (x + ;у +)-f (x ;у )

можно записать в виде

=(х ;у )+ (х ;у )+,

где - бесконечно малые функции при , , то функция z = f (x ;у ) называется дифференцированной в точке М (x ;у ), а линейная относительно и часть её полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

dz = +.

Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных d х= , d у= . Поэтому

dz = d х +d у ,

или в других обозначениях

dz = d х +d у .

Для функции трёх переменных и= f (x ;у ;z )

d и= d х +d у+ dz .

Полный дифференциал функции z = f (x ;у )

dz = d х +d у ,

который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х , у и от их дифференциалов d х, d у. Заметим, что дифференциалы d х, d у не зависят от х , у.

Дифференциалы второго порядка определяют по формуле

d ² z = d (dz ).

Тогда

d ² z = d (d х+ d у )= (d х+ d у )d х+ (d х+ d у )d у= d х² + d у d х+

+d х d у+ d у² ,

откуда

d ² z = d х² + 2d х d у+ d у² .

Символически это можно записать так:

d ² z = (d х+ d у )² z .

Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п -го порядка:

d ^п z = d (d ^п-1 z ) =(d х+ d у )^п z .

2. Производная функции z = f (x ;у ) в направлении вектора вычисляется по формуле

+,

где , - направляющие косинусы вектора :

= , = .

Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора определяет скорость изменения функции в направлении вектора .

Градиентом функции z = f (x ;у ) называется вектор

gradz = (,).

Свойства градиента

1. Производная имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно .

2. Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю.

3. Пусть функция z = f (x ;у ) определена на множестве D и точка М (х ;у )D . Если существует окрестность точки М , которая принадлежит множеству D , и для всех отличных от М точек М выполняется неравенство

f (М )<f (М₀ ) (f (М )>f (М₀ )),