Реферат: Функция многих переменных

3. Пусть и (х ), v (x ) – функции, которые имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда

d (uv ) = udv + vdu

или

udv = d (uv ) –vdu .

Интегрируя это равенство, получим

или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,

.

Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.

Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1) в интегралах , где k – натуральное число, за и следует брать х ^k , а за dv – выражение, которое осталось;

2) в интегралах , следует обозначать dv = х ^k dx .

Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функцииf (x ), то есть =F (x ) +С. Но при этом не всегда первообразная F (x ) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например,

=F (x ) +С , где F (x ) = х - +-+... .

Не берутся такие интегралы:

- интегральный логарифм, - интегральный синус, - интегральный косинус, , - интегралы Френеля и другие.

В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых всегда ”берутся”, является класс рациональныхфункций.

Лекция 1 3 . Тема – Элементарные дроби и их интегрирование. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.

План.

1. Рациональные функции. Элементарные дроби и их интегрирование.

2. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.

3. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.

1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь

где Р_т (х ), Q_n (x ) – многочлены степени т и п :

Q_n (x ) = х^п + х^{п -1} +...+ , Р_т (х ) = х^т + х^{т -1} +...+ .

Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя т< п , и неправильной , если тп.

Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.

Различают четыре вида элементарных дробей:

І., ІІ. , ІІІ. , ІV.,

где п= 2,3,..., а трехчлен х² +рх+ q не имеет действительных корней, то есть D =р² - 4q < 0.

Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.

І.

ІІ.

ІІІ. Пример.

---= -.

2. Как известно из алгебры, многочлен Q_n (x ) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители

Q_n (x ) = (х-х )^k _… (х-х _r )^k (x ² + p x + q )^l …(x ² + p x + q )^l ,

где , х , p , q - действительные числа; k , I - натуральные числа; k +…+ k + 2(I +…+ I )=n , р ² - 4 q< 0.