Реферат: Функция многих переменных
3. Пусть и (х ), v (x ) – функции, которые имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда
d (uv ) = udv + vdu
или
udv = d (uv ) –vdu .
Интегрируя это равенство, получим
или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,
.
Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.
Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1) в интегралах , где k – натуральное число, за и следует брать х k , а за dv – выражение, которое осталось;
2) в интегралах , следует обозначать dv = х k dx .
Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функцииf (x ), то есть =F (x ) +С. Но при этом не всегда первообразная F (x ) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например,
=F (x ) +С , где F (x ) = х -
+
-
+... .
Не берутся такие интегралы:
- интегральный логарифм,
- интегральный синус,
- интегральный косинус,
,
- интегралы Френеля и другие.
В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых всегда ”берутся”, является класс рациональныхфункций.
Лекция 1 3 . Тема – Элементарные дроби и их интегрирование. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
План.
1. Рациональные функции. Элементарные дроби и их интегрирование.
2. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.
3. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь
где Рт (х ), Qn (x ) – многочлены степени т и п :
Qn (x ) = хп +
хп -1 +...+
, Рт (х ) =
хт +
хт -1 +...+
.
Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя т< п , и неправильной , если тп.
Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.
Различают четыре вида элементарных дробей:
І., ІІ.
, ІІІ.
, ІV.
,
где п= 2,3,..., а трехчлен х2 +рх+ q не имеет действительных корней, то есть D =р2 - 4q < 0.
Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.
І.
ІІ.
ІІІ. Пример.
---
=
-
.
2. Как известно из алгебры, многочлен Qn (x ) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители
Qn (x ) = (х-х
)k
… (х-х r )k
(x 2 + p
x + q
)l
…(x 2 + p
x + q
)l
,
где , х
, p
, q
- действительные числа; k
, I
- натуральные числа; k
+…+ k
+ 2(I
+…+ I
)=n , р
2 - 4 q
< 0.