Реферат: Функция многих переменных
Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.
Частные производные от частных производных ,
функцииz = f (x ;у ) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:
,
,
,
.
Производные и
называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.
Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.
План.
1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.
2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.
3. Локальные экстремумы функции высших порядков.
1. Пусть функция z = f (x ;у ) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x ;у ) вместе со своими частными производными (х ;у ),
(х ;у ). Выберем приращение
и
так, чтобы точка (х+
;у+
) принадлежала рассматриваемой окрестности.
Если полное приращение функции z = f (x ;у ) в точке М (x ;у )
= f (x +
;у +
)-f (x ;у )
можно записать в виде
=
(х ;у )
+
(х ;у )
+
,
где - бесконечно малые функции при
,
, то функция z = f (x ;у ) называется дифференцированной в точке М (x ;у ), а линейная относительно
и
часть её полного приращения
называется полным дифференциалом функции и обозначается
dz = +
.
Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных d х= , d у=
. Поэтому
dz = d х +
d у ,
или в других обозначениях
dz = d х +
d у .
Для функции трёх переменных и= f (x ;у ;z )
d и= d х +
d у+
dz .
Полный дифференциал функции z = f (x ;у )
dz = d х +
d у ,
который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х , у и от их дифференциалов d х, d у. Заметим, что дифференциалы d х, d у не зависят от х , у.
Дифференциалы второго порядка определяют по формуле
d 2 z = d (dz ).
Тогда
d 2 z = d (d х+
d у )=
(
d х+
d у )d х+
(
d х+
d у )d у=
d х2 +
d у d х+
+d х d у+
d у2 ,
откуда
d 2 z = d х2 + 2
d х d у+
d у2 .
Символически это можно записать так:
d 2 z = (d х+
d у )2 z .
Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п -го порядка:
d п z = d (d п-1 z ) =(d х+
d у )п z .
2. Производная функции z = f (x ;у ) в направлении вектора вычисляется по формуле
+
,
где ,
- направляющие косинусы вектора
:
=
,
=
.
Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора определяет скорость изменения функции в направлении вектора
.
Градиентом функции z = f (x ;у ) называется вектор
gradz = (,
).
Свойства градиента
1. Производная имеет наибольшее значение, если направление вектора
совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно
.
2. Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю.
3. Пусть функция z = f (x ;у ) определена на множестве D и точка М (х
;у
)
D . Если существует окрестность точки М
, которая принадлежит множеству D , и для всех отличных от М
точек М выполняется неравенство
f (М )<f (М0 ) (f (М )>f (М0 )),