Реферат: Гидравлика 2

ГИДРОСТАТИКА

4. Уравнение Эйлера.

Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, действующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу

(12)

от давления, взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем:

(13)

Отсюда видно, что на каждый элемент объема dV жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила . Другими словами, можно сказать, что на единицу объема жидкости действует сила -grad р.

Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объема жидкости, приравняв силу - grad p произведению массы единицы объема жидкости на ее ускорение :

. (14)

Стоящая здесь производная определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам. Для этого заметим, что изменение вскорости данной частицы жидкости в течение времени dt складывается из двух частей: из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием dr , пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt. Первая из этих частей равна

(15)

где теперь производная берется при постоянных х, у, z , т.е. в заданной точке пространства. Вторая часть изменения скорости равна

(16)

Таким образом,

(17)

или, разделив обе стороны равенства на dt,

. (18)

Подставляя полученное соотношение в (14), находим:

. (19)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л. Эйлером в 1775 г. Оно называется уравнением Эйлера является одним из основных уравнений гидродинамики .

Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее объема действует еще сила , где g есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения (14), так что (19) приобретает вид

. (20)

При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывал процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое здесь относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.

Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.

При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая посредством энтропию, отнесенную к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением

, (21)

где полная производная по времени означает, как и в (14), изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде

. (22)

Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движенияидеальной жидкости. С помощью его можно написать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии