Реферат: Интеграл по комплексной переменной

(6)

Аналогично взяв Z = - ix получим :

(7)

Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

(8)

В общем случае :

(9)

Известно, что :

(10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.

ТЕОРЕМА 1.

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку z , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши :

(13)

(11)

Поскольку

, то выражение можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е. :

(12)

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2pi) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :

Обозначая , получим : (14)