Реферат: Интеграл по комплексной переменной

ТЕОРЕМА 2.

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :

(16)

где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить (17) , получим :

(18)

ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 |<R, где 0£ Z<R<¥ , то она раскладывается в сходящийся степенной ряд :

(19)

f1 и f2 можно представить в виде двух рядов :

(20)

(21)

Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R.

f1(Z) – правильная часть.

f2(Z) – главная часть ряда Лорана.

Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.

Классификация изолированных особых точек. Вычеты.

Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0 Î G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0 функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|<R называется изолированной, если функция f(Z) в каждой точке этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z0. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на :

1) Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число.

2) Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом.

3) Если не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой.

Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n ® m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

, если m ® ¥ , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|<R, ограничивающем изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл : , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана :

Если полюс имеет кратность m ³ 1, то для определения вычетов используется формула :

(3)

при m=1 :