Реферат: Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
, где 
При 
получаем систему 
Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых решение (на конечном интервале времени) отличается поправкой порядка от гармонических колебаний: 
Следовательно, при достаточно малом = (Т) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса А в течении интервала времени Т.
При 
фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка ). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него, рассмотрим приращение энергии 
за один оборот вокруг начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу: 
Подставляя значения 
и 
, получим:
Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O(
) по окружности радиуса А.
Пусть 
, тогда
для 
(при малых положительных значениях 
), поэтому фазовые точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.
Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)
Так как detC>0, то при замене 
на 
ориентация системы координат не изменилась.
Литература
-
Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.
-
Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.
-
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.
-
Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.
-
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.
-
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.
program coefficients;
type mas=array[1..100] of real;beg=array[1..6] of real;
var rez1,rez2:text;
r1,r2:mas;i:integer;r:beg;
procedure calculate(t:beg;var a:mas);
begin