Реферат: История чисел и счисления

Числа мо­гут объединяться со всяким предметом, с которым они естественно связаны. Но если такой подходящий предмет, с которым можно было бы связать число, отсутствует, то нужно ограничиться лишь способом "простого созерцания". Этот способ состоит в том, что данное число фотографируется в уме, пока пос­ледний не воспроизведет все детали и вид числа, как детали и общий вид какой-нибудь картины. Вам сле­дует представить себе числа, написанные жирным белым шрифтом на черном поле. Не упускайте ум­ственной картины, пока вы не будете полностью ви­деть ее своим мысленным взором. Искусство это воз­растает с практикой. Но, однако, было бы лучше свя­зывать числа с какими-нибудь подходящими предме­тами. Теория такого "созерцательного" способа со связыванием или без него основана на том факте, во-первых, что многие умы воспринимают и удерживают зрительные впечатления гораздо скорее и лучше, чем простую абстрактную идею без конкретного изобра­жения, и, во-вторых, что закон ассоциации дает ум­ственной картине с большим числом возможностей легко возвращаться в поле сознания, когда эту кар­тину затребует мысль о предмете. . [№6, В.В.Аткинсон, стр. 436]

Глава 3. Счисление.

§ 1 Умножение и деление на счетах.

Есть много полезных вещей, которые мы не ценим только потому, что, находясь постоянно у нас под ру­ками, они превратились в слишком обыденный предмет домашнего обихода. К числу таких недостаточно цени­мых вещей принадлежат и наши конторские счеты — рус­ская народная счетная машина, представляющая собою видоизменение знаменитого «абака» или «счетной доски» наших отдаленных предков.

Наверное, очень многие умеют складывать, вычитать и делить на два на счетах.

Вот несколько приемов, (пользуясь которыми, всякий умеющий быстро складывать на счетах сможет про­ворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.

Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и скла­дывают этот результат с самим собой.

Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, то есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 помощью счетов — мы уже объяснили выше, на стр. 33).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое. Вместо умножения на 7, множат на 10 и отнимают умножаемое три раза.

Умножение «а 8 заменяют умножением на 10 минус два.

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 минус один.

При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.

Читатель, вероятно, уже сам сообразит, как надо по­ступать при умножении на числа, больше 10, и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множи­тель 11 надо, конечно, заменить 10 + 1. Множитель 12 заменяют 10 + 2, или практически 2+10, т. е. сна­чала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется 10 + 3 и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п.; поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одина­ковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, больше 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем умно­жить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произ­ведения — это все же дает некоторое сокращение вре­мени,

Выполнять с помощью конторских счетов деление гораздо труднее, чем умножать: для этого нужно запом­нить целый ряд особых приемов, подчас довольно за­мысловатых.

Делить на 2 очень просто.

Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в за­мене деления умножением на бесконечную периодиче­скую дробь 0,333... (известно, что 0,333.. = ) Умно­жать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшить в 10 раз тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После недолгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд длинноватый, оказывается довольно удобным на практике.

Деление на 4, конечно, заменяется двукратным деле­нием на 2.

Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.

На 6 делят в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.

Деление на 7 выполняется с по­мощью счетов чересчур сложно, и потому здесь изла­гать его не буду.

На 8 делят в три приема: сначала на 2, потом полу­ченное вновь на 2 и затем еще раз на 2.

Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что = 0,1111 ... Отсюда ясно, что вместо деления на 9 можно последовательно складывать 0,1 делимого + 0,01 его и т. д.

Всего проще, как видим, делить на 2, 10 и 5 и, ко­нечно, на такие кратные им числа, как 4, 8, 16, 20, 26, 40, 50, 75, 80, 100. Эти случаи деления не представляют трудности и для малоопытного счетчика. [№1, стр.36-38]

Попробовав на своем опыте нехитрые вычисления на счетах, я осознал всю легкость такого счета. Конечно, мне не хватало долговременной практики, но я уверен, что у опытного мастера счеты в руках – отличная замена карманному калькулятору. Понаблюдать за работой опытного «счетчика» я пошел в ближайший овощной магазин. Там работает продавец, которого я помнил с тех пор, как переехал на свою последнюю квартиру. Уже пожилой торговец, как часто бывает, не мог бросить старый метод и в начале 21-го века все считал на счетах. Да не просто считал, а считал чуть ли не быстрее «продвинутых» с электронными калькуляторами. Это ли не доказательство того, что счеты – изобретение на века?

§2 Умножение и деление без приборов.

Длительное время счет чисел выполняли только устно с помощью каких-либо предметов – пальцев, камешков, ракушек и др., а позже на специальных приборах – абаке, счетах. Только после того, как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычисле­ниях они записывали числа па­почкой на песке, насыпанном на специально приготовленную дос­ку. Цифры, изображенные на пес­ке, легко было стирать, а на их ме­сте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.