Реферат: Комплексні числа

Маємо: tg α = 2Ö3/(-2) = -3. Тут а = -2, b = 2Ö3, тобто радіус – вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить ІІ чверті. Отже, α = π 2/3.

3) z = -1-ί;

Маємо: tg α = 1. Радіус – вектор, що відровідає даному комплексному числу, належить ІІІ чверті. Отже, α = π 5/4.

4) z = 1-Ö3ί;

Маємо: tg α = -Ö3. Тут а = 1, b = -Ö3. Радіус – вектор, що відповідає даному комплексному числу, належить IV чверті. Отже, = π 5/3.

в) тригонометрична форма комплексного числа.

Нехай вектор ОА є геометричним зображенням комплексного числа z = a + bί (дивіться малюнок 7), модуль якого дорівнює r, а аргумент α. У прямокутному трикутнику АОС а = r cos α, d = r sin α. Підставляючи у запис комплексного числа замість а та d їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо :

Z = r cos α + ίr sin αί = r(cos α + ίsin α).

Вираз r(cos α + sin αί) називається тригонометричною формою комплексного числа. Будь – яке число a + bί, дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі. Модуль r знаходимо за формулою r =Ö a² + b², а кут α визначаємо із залежності tg α =b\a, яка випливає з формул cos α = a\r, sin α = b\r.

Приклади:

а) z = -1-Ö3ί;

Маємо: r = Ö(-1)²+(- Ö3)² = 2; tg α = Ö3; α = 4π\3 + πn, n є Z.

Через те, що радіус – вектор, який зображує число z = a + bί, розміщений у ІІІ чверті комплексної площини, то за аргумент беремо α = 4π\3 + πn. Отже, -1-Ö3ί = 2(соs 4π\3 + ί Sin 4π\3).

б) z = ί;

Тут а = 0, b = 1, отже, r = 1. Вектор, що зображує число ί, утворює з віссю абсцисс кут π\2 (поясніть чому). Отже, ί = cos π\2 + ί sin π\2.

в) z = 3.

Тут а = 3, b = 0, отже, r = 3.

3 = 3(cos 0 + ί sin 0).

Розглянемо приклади переходи від тригонометричної форми комплексного числа до алгебраїчної.

Приклади:

а) 2(cos π\3+ ί sin π\3) = 2(1\2+Ö3ί \2) = 1 +Ö3ί;

б) 4(cos 2π\3 + ί sin 2π\3) = 4(-1\2+Ö3ί \2) = -2 + 2Ö3ί.

г) Множення і ділення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел виявляється дуже зручною під час множення і ділення чисел. Нехай Z₁=r₁(cos α₁ + ί sin α₁), Z₂=r₂(cos α₂ + ί sin α₂) – два числа, що записані в тригонометричній формі. Тоді

Z₁ Z₂= r₁r₂( cos α₁ cos α₂ - sin α₁ sin α₂ + ί sin α₁cos α₂ + ί sin α₂ cos α₁), або Z₁ Z₂= r₁r₂( cos (α₁ + α₂) + ί sin (α₁ + α₂)).

Отже, справедливим є твердження: під час множення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх перемножуються, а аргументи додаються. Для знаходження частки множимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:

Z₁\Z₂=r₁(cos α₁ + ί sin α₁)(cos α₂ - ί sin α₂)\ r₂(cos α₂ + ί sin α₂)(cos α₂ - ί sin α₂) = r₁\r₂х(cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\( cos² α₂ + ί sin ²α₂)= r₁( cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\r₂.

Отже, під час ділення комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаюьтся.

Приклади. Виконати множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.