Реферат: Краткая методичка по логике

g(x) - x есть слесарь

g(x) - x есть токарь

g(x, y) - x идентичен y

(g(f(f)))Ù("c₁ (((Ø(g(c_1, f)))Ù(g(f(c₁ ), ( f(f))))Þ(g(c₁ ))))

Тема 3. Пропозициональная логика

или логика элементарных высказываний изучает свойства логических операций Ø, Ù, Ú, Þ, Û, которые по смыслу их введения являются операциями над истинностными значениями:

p	q	Ø p	p Ù q	p Ú q	p Þ q	p Û q
Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	И	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
И	И	Л	И	И	И	И

Если высказывания р, q различны и элементарны, то эта таблица называется истинностной таблицей высказываний (p, q,) Øp, pÙq, pÚq, pÞq, pÛq. В общем случае при составлении истинностной таблицы какого-либо перечня высказываний надо поместить на ее вход все различные пропозициональные компоненты этих высказываний, сделать полный перебор истинностных значений во входных столбцах и записать соответствующие истинностные значения в результирующих столбцах.

Пример. В комнате без окон темно и неуютно.

Универсум - множество комнат

g(c₁ ) - c₁ имеет окно p - комната имеет окно

g(c₁ ) - в c₁ темно q - в комнате темно

g(c₁ ) – в c₁ уютно r - в комнате уютно

(Ø(g(c₁ )))Þ((g(c₁ ))Ù(Ø(g(c₁ )))) ØpÞqÙØr

p q r

p	q	r	Ø p	Ø r	q Ù Ø r	Ø p Þ q Ù Ø r
Л	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	Л	Л	Л	И
И	И	Л	Л	И	И	И
И	И	И	Л	Л	Л	И

Тавтология или тавтологически истинное высказывание - это высказывание со сплошными И в его столбце его истинностной таблицы. Высказывание q называется тавтологическим следствием (из) высказываний p₁ ,…,p_n , если в истинностной таблице высказываний p₁ ,…,p_{n ,} ,q столбец q содержит И в любой строке, которая содержит И во всех столбцах p₁ ,…,p_n . Например, построенная выше таблица показывает, что:

ØpÞqÙØr - есть тавтологическое следствие из Øp, qÙØr;

Ør, q являются тавтологическими следствиями из qÙØr;

r есть тавтологическое следствие из p, Øp.

Теорема об отрицании отрицания: ØØp = p

Теорема об отрицании конъюнкции: Ø(pÙq) = ØpÚØq

Теорема об отрицании дизъюнкции: Ø(pÚq) = ØpÙØq

Теорема об исключении импликации: pÞq = ØpÚq

Теорема об исключении эквиваленции: pÛq = pÙqÚØpÙØq

Теорема об устранении альтернативы: pÚØpÙq = pÚq, ØpÚpÙq = ØpÚq

Теорема о коммутативности конъюнкции: pÙq = qÙp

Теорема о коммутативности дизъюнкции: pÚq = qÚp

Теорема об ассоциативности конъюнкции: pÙ(qÙr) = (pÙq)Ùr

Теорема обассоциативности дизъюнкции: pÚ(qÚr) = (pÚq)Úr

Теорема о дистрибутивности конъюнкции: pÙ(qÚr) = (pÙq)Ú(pÙr)

Теорема о дистрибутивности дизъюнкции: pÚ(qÙr) = (pÚq)Ù(pÚr)