Реферат: Краткая методичка по логике

Теорема о тавтологическом следствии: q является тавтологическим

следствием из р₁ ,…,p_n тттк р₁ Ù…Ùр Þ q является тавтологией. Эти три теоремы

легко доказываются с помощью истинностных таблиц.

Арифметический способ записи высказываний: исключаются знаки Þ, Û

и вместо Л, И, Øp, pÙq, pÚq употребляются соответственно 0, 1, `p, pq, p + q.

Например, арифметической записью высказывания (rÚpÞqÙr) будет .

При арифметической записи высказываний с ними можно обращаться так, как будто они обозначают числа 0, 1, а. Логический плюс отличается от арифметического только тем, что 1 + 1 = 1. При этом полезно помнить следующие равенства:

p Þ q = `p + q

p Û q = p q + `p `qp p = p

p + p = p

p`p = 0

p + `p q = p + qp +`p = 1

p + p q = `p + q1 + p = 1

Равенства в левой колонке представляют собой другую запись уже доказанных выше теорем, а равенства в правой колонке устанавливаются непосредственной проверкой с учетом равенств 0 = 1, 1 = 0.

Пример. Доказательство тавтологичности высказываний:

pÞqÞp =`p + (qÞp) =`p +`q + p =`p + p +`q = 1 +`q = 1

pÞqÞpÙq =`p +`q + p q = + p q = 1

(ØpÞØq)Þ(ØqÞp)Þq = +q =`q p +`q`p + q = `q (p +`p) + q =`q + q = 1

Пример. Выразительная достаточность пар ØÙ, ØÚ, ØÞ.

pÙq = Ø(ØpÚØq) = Ø(pÞØq)

pÚq = Ø(ØpÙØq) = ØpÞq

pÞq = Ø(pÙØq) = ØpÚq

pÛq = Ø(Ø(pÙq)ÙØ(ØpÙØq))

pÛq = Ø(ØpÙq)ÙØ(pÙq)

pÛq = Ø((pÞq)ÞØ(qÞp))

Доказательство последнего равенства:

pÛq = p q +`p`q

Ø((pÞq)ÞØ(qÞp)) = = (`p + q)(q +`p) = `p`q +`p p +`q q + q p =`p`q + 0 + 0 + q p = p q +`p`q

Пример . Упрощение высказываний.