Реферат: Кривизна плоской кривой Эволюта и эвольвента

Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим

. (4)

Так как , то .

Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на , получим

.

Возведём в квадрат полученное равенство:

(5), и сравнивая равенства (4), (5) находим

, откуда

По условию не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Пусть для определённости , а. (рис. 10)

Следовательно,

Пусть точка M1 имеет абсциссу x1, а M2 – абсциссу x2.

Применим теорему Коши к функциям s(x) и R(x) на отрезке [x1, x2]:

Где x - число, заключённое между x1 и x2 .

Введём обозначения (рис. ): S(x2) = s2, s(x1)= s1, R(x2)=R2, R(x1)=R1

Тогда . Но это значит, что . Теорема доказана.

Доказательство при возрастании радиуса кривизны аналогично.

Если кривая задана параметрически, то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L! (рис.11 ).

2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L!; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L!. Отсюда следует, что данная эволюта L! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

следует, что данная эволюта L! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

Заключение

В качестве заключения рассмотрим применение эвольвенты в технике.

В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O1 и O2 (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К. Тогда в точке К нормали КМ1 и КМ2 к эвольвентам Э1 и Э2 будут лежать на отрезке М1М2 общей касательной к окружностям радиусов R1 и R2 соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М1М2 (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М1М2.