Реферат: Линейное программирование постановка задач и графическое решение

Найти такие неотрицательные значениях₁ ,х₂ , ..., х_n , которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1)минимальное значение.

Общая задача имеет несколько форм записи.

Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях

(1.4)А₁ х₁ + А₂ x₂ + ... + А_N x_N = А_о , X 0

где С = (с₁ , с₂ , ..., с_N ); Х = (х₁ , х₂ , ..., х_N ); СХ - скалярное произведение; векторы

A₁ = , A₂ = ,..., A_N = , A₀ =

состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Матричная форма записи . Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А₀ , Х 0, где С = (с₁ , с₂ , ..., с_N ) - матрица-cтрока; А = (а_ij ) - матрица системы;

Х = - матрица-столбец, А₀ = матрица-столбец

Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = С_j х_j при ограничениях

0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х₁ , х₂ , ..., х_N ), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3).

0пределение 2. План Х = (х₁ , х₂ , ..., х_N ) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, ..., N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами х , являются линейно независимыми.

Так как векторы А являются N-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать М.

0пределение 3. Опорный план называется невырожденным, если он содержит М положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.

0пределение 4 . Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наименьшее (наибольшее) значение линейной функции.

В дальнейшем рассмотрено решение задач линейного программирования, связанных с нахождением минимального значения линейной функции. Там, где необходимо найти максимальное значение линейной функции, достаточно заменить на противоположный знак линейной функции и найти минимальное значение последней функции. Заменяя на противоположный знак полученного минимального значения, определяем максимальное значение исходной линейной функции.

1.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования, система ограничений которой задана в виде неравенств.

Найти минимальное значение линейной функции

(1.5) Z= С₁ х₁ +С₂ х₂ +... +С_N x_N

при ограничениях

a₁₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ...+ a_1N Х_N b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ...+ a_2N Х_N b₂

(1.6) . . . . . . . . . . . . . . .

a_M1 x₁ + a_M2 x₂ + ...+ a_MN Х_N b_M

(1.7) x_j 0 (j = 1, 2, ... ,n)

Совокупность чисел х₁ , х₂ , ..., х_N , удовлетворяющих ограничениям (1.6) и (1.7), называется решением. Если система неравенств (1.6) при условии (1.7) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае - несовместной.

Рассмотрим на плоскости х₁ Ох₂ совместную систему линейных неравенств

a₁₁ x₁ + a₂₂ x₂ b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ b₂