Реферат: Линейное программирование постановка задач и графическое решение
2х1 + 5х2 20
8х1 + 5х2 40
5х1 + 6х2 30
которая показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысит имеющихся запасов. Если продукция Р1 не выпускается, то х1 =0; в противном случае x1 0. То же самое получаем и для продукции Р2 . Таким образом, на неизвестные х1 и х2 должно быть наложено ограничение неотрицательности: х1 0, х2 0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибылипри реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2 . Реализация х1 единиц продукции Р1 и х2 единиц продукции Р2 дает соответственно 50х1 и 40х2 руб. прибыли, суммарная прибыль Z = 50х1 + 40х2 (руб.)
Условиями не оговорена неделимость единица продукции, поэтому х1 и х2 (план выпуска продукции) могут быть и дробными числами.
Требуется найти такие х1 и х2 , при которых функция Z достинает максимум, т.е. найти максимальное значение линейной функции Z = 50х1 + 40х2 при ограничениях
2х1 + 5х2 20
8х1 + 5х2 40
5х1 + 6х2 30
х1 0, х2 0.
Построим многоугольник решений (рис. 2.3).
Для этого в системе координат х1 Ох2 на плоскости на плоскости изобразим граничные прямые
2х1 + 5х2 = 20 (L1 )
8х1 + 5х2 = 40 (L2 )
5х1 + 6х2 = 30 (L3 )
х1 = 0, х2 = 0.
Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис. 2.3 показаны стрелками). Многоугольником решений данной задачи является ограниченный пятиугольник ОАВСD.
Для построения прямой 50х1 + 40х2 = 0 строим радиус-вектор N = (50;40) =10(5;4) и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.3 следует, что опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке С, где функция Z принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L2 . Для определения ее координат решим систему уравнений
8x1 + 5х2 = 40
5х1 + 6х2 = 30
Оптимальный план задачи: х1 = 90/23 = 3,9; х2 = 40/23 = 1,7. Подставляя значения х1 и х2 в линейную функцию, получаем Zmax = 50 3,9 + 40 1,7 = 260,3
Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 260,3 руб., необходимо запланировать производство 3,9 ед. продукции Р1 и 1,7 ед. продукции Р2 .
Задача составления рациона. При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 ед. питательного вещества S1 , не менее 8 ед. вещества S2 и не менее 12 ед. вещества S3 . Для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества елиниц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице 2.2.
Таблица 2.2.
| Питательные вещества | Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма. | |
| Корм 1 | Корм 2 | |
| S1 | 3 | 1 |
| S2 | 1 | 2 |
| S3 | 1 | 6 |
| Стоимость 1 кг корма, коп. | 4 | 6 |
Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальными.
Решение.
Для составления математической модели обозначим через х1 и х2 соответственно количество килограммов корма 1 и 2 в дневном рационе. Принимая во внимание значения, приведенные в таблице 2.2, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получаем систему ограничений
3х1 + х2 9
х1 + 2х2 8