Реферат: Линейное программирование постановка задач и графическое решение
где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N - M =2.
Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных х1 , х2 , ..., хM , а свободными - два последних: хМ+1 , и хN , т. е. система ограничений приняла вид
x1 + a1,М+1 xМ+1 + a1N ХN = b1
(2.4) x2 + a2,М+1 xМ+1 + a2N ХN = b2
. . . . . . . . . . . .
xМ + aМ, М+1 x2 + aМN ХN = bМ
xj 0 (j = 1, 2, ..., N)
С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные неизвестные - неотрицательные: хj 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств. Таким образом, окончательно получаем следующую задачу.
Найти минимальное значение линейной функции Z= СМ+1 хМ+1 +СN xN при ограничениях
a1,М+1 xМ+1 + a1N ХN b1
a2,М+1 xМ+1 + a2N ХN b2
. . . . . . . . . .
aМ,М+1 xМ+1 + aМN ХN bМ
xМ+1 0, хN 0
Преобразованная задача содержит два неизвестных; решая ее графическим методом, находим оптимальные значения xМ+1 и хN , а затем, подставляя их в (2.4), находим оптимальные значения х1 , х2 , ..., хM.
Пример.
Графическим методом найти оптимальный план задачи ли-нейного программирования, при котором линейная функция Z = 2х1 - х2 + х3 - 3х4 + 4х5 достигает максимального значения при ограничениях
х1 - х2 + 3х3 - 18х4 + 2х5 = -4
2х1 - х2 + 4х3 - 21х4 + 4х5 = 2
3х1 - 2х2 + 8х3 - 43х4 + 11х5 = 38
xj 0 (j = 1, 2, ..., 5)
Решение.
Используя метод Жордана-Гаусса, произведем три полных исключения неизвестных х1 , х2 , х3 . В результате приходим к системе
х1 + х4 - 3х5 = 6
х2 + 7х4 + 10х5 = 70
х3 - 4х4 + 5х5 = 20
Откуда x1 = 6 – х4 + 3x5 , х2 = 70 – 7х4 -10х5 , х3 = 20 + 4х4 -5х5 .
Подставляя эти значения в функцию и отбрасывая в системе базисные переменные, получаем задачу, выраженную только через свободные переменные х4 и х5 : найти максимальное значение линейной функции Z = 6х4 + 15х5 – 38 при ограничениях
х4 - х5 6