Реферат: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші

або

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає ,що функціїта - розв’язки рівняння 1.Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння 1 є функції .

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді

3

ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: За формулою дістанемо один з розв’язків :.

Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де невідома функція від . знайшовши та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:

або

Оскільки- корінь рівняння 2, тоі за теоремою Вієта, тому і звідки де довільні сталі. Поклавши(нас цікавить розв’язок ), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:

Розв’язки - лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:

.

Приклад 1:

Розв’язати рівняння:.

Розв’язання :

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені за формулою шуканий розв’язок має вигляд:

.

Приклад 2:

Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Характеристичне рівняння має комплексні корені Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:

.

Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння