Реферат: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші

Розв’язати рівняння.

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд .Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду,причому, то за формулою 7 частинний розв’язок шукаємо у вигляді,тобто, де А і В - знайшовши похідні і підставивши їх у рівняння дістанемо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

,

звідки .Отже частинний розв’язок даного рівняння має вигляд

, тому

шуканий загальний розв’язок.

Лінійні диференціальні рівняння -го порядку.

Застосуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівнянняn -го порядку

, 10 де - сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння 10 називається алгебраїчне рівнянняn-го степеня виду

11

де - невідоме дійсне чи комплексне число.

Рівняння 11 має nкоренів. Позначимо ці корені через .

Теорема: Кожному простому коренюрівняння 11 відповідає частинний розв’язок рівняння 10, а кожному кореню кратності відповідає ь частинних розв’язків виду .

Кожній парі простих комплексно спряжених коренів рівняння 11 відповідає два частинних розв’язки рівняння 10 , а кожній парі комплексно-спряжених коренів кратності відповідає частинних розв’язків виду

Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння 11 дорівнює , тому кількість всіх частинних розв’язків рівняння 10 , складених згідно з цією теоремою, дорівнює .тобто збігається з порядком рівняння 10 . Позначимо ці частинні розв’язки через Можна показати, що знайдені частинні розв’язки є лінійно незалежними. І загальний розв’язок рівняння 10 знаходиться за формулою

. 12

Нехай задано неоднорідне рівняння -го порядку

13 де - сталі дійсні числа, - неперервна на деякому проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння 13 є функція

де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння 10, а - частинний розв’язок рівняння 13.

Побудову загального розв’язку рівняння10 з’ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв’язку . Якщо права частина рівняння 13 є функція спеціального виду 9.1, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати за формулою 9.2. якщо права частина не є функцією виду 9.1, то для знаходження застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння 13 суть цього методу така.

Нехай функція 12 є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння 10. знаходимо частинний розв’язок рівняння 13 за тією ж формулою 12, вважаючи. Що величини - функції від , тобто покладемо

, 14 де - невідомі функції.

Складемо систему рівнянь

розв’язуючи цю систему. Знаходимо похідні , а потім інтегруванням і самі функції . Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції в рівність 14 то матимемо частинний розв’язок рівняння 13; якщо у рівність 14 підставити функції, де - довільні сталі. То відразу отримаємо загальний розв’язок.

Приклад: