Реферат: Логика. Формальная или диалектическая?

Теперь мы рассмотрим знаменитое доказательство теоремы Пифагора и решение легендарной задачи Архимеда, чтобы видеть, как гений позволяет ""перейти границу"" [9.231].

"Теорема Пифагора

Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а, b и с (черт.1).

Черт. 1

Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов со­ответственно равны а² , b² и с² . Докажем, что с² = а² + b² .

Построим два квадрата МКОР и М'К'О'Р' (черт.2, 3), приняв

черт.2 черт.3

за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоуго­льного треугольника АВС. Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 2 и 3, мы увидим, что квадрат МКОР раз­бился на два квадрата с площадями а² и b² и четыре равных пря­моугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М'К'О'Р' разбился на четырехугольник (он на чертеже 3 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольни­ка, каждый из которых также равен треугольнику АВС. Заштрихован­ный четырехугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АВС, т.е. с ), а углы - прямые (< 1 + < 2 = 90°, откуда < 3 = 90°).

Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на кате­тах (на чертеже 2 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырех равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М'К'О'Р', рав­ного квадрату МКОР, без суммы площадей четырех таких же треуго­льников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипоте­нузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Получаем формулу с² = а² + b² , где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.

Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов"[10.115-116].

Доказательство теоремы Пифагора является одним из тех шедев­ров гения человечества, который своей простотой, красотой обвора­живает сердце и ум, приводит в экстаз восхищения. Такие шедевры притягательны не тем, что открывают, а, наоборот, что обнаружива­ют до осязания загадочность гениальности самой по себе и именно эта загадочность гениальности вновь и вновь манит к себе, будора­жит, пьянит.

С анализа доказательства теоремы Пифагора мы и начнем непос­редственно, конкретно убеждаться, видеть (see - видеть, понимать) правоту гения Гегеля, что вещи подчиняются логике Гегеля, вернее, наоборот, что логика Гегеля следует за развитием вещей.

До сих пор математики убеждены, что их открытия, доказатель­ства, или доказательство открытий, опирается на основные законы формальной логики, или исходят из них как из принципа, "само(го) достоверно(го) из всех начал"[8.125]. Но это убеждение математи­ков на деле является их с у щ е с т в е н н ы м з а б л у ж д е­ н и е м. При доказательстве или решении они (математики, ученые) незаметно для всех, в том числе и для себя, позволяют себе ""пе­рейти границу""[9.231], т. е. непременно нарушают категорический запрет формальной логики, взрывают ее принцип. "Они не сознают этого, но они это делают"[11.84].

Еще раз внимательно рассматриваем математическое доказатель­ство теоремы Пифагора и анализируем его, мы на конкретном окуна­емся в "бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отноше­ний etc... бесконечный процесс углубления познания человеком ве­щи, явлений, процессов и т. д. от явлений к сущности и от менее глубокой к более глубокой сущности"[9.203].

Мы не сомневаемся в доказательстве теоремы Пифагора и его вы­воде, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Мы категорически, существенно не соглас­ны с тем, что математическое доказательство теоремы Пифагора опи­рается на основные законы формальной логики. В этом суть! Мы сом­неваемся в последовательности хода доказательства ( и не только теоремы Пифагора) математиков. Они скрыли, утаили от нас мелочь, но мелочь существенную, точнее, они скрали, скостили от нас (и более всего от себя) существенный отрезок доказательства (факти­чески упустили суть дела).

Вопрос первый:

Откуда у математиков появились "два квадрата МКОР и М'К'О'Р'" [10.115] (черт. 2 и 3), или какова природа этих двух квадратов, что нас вынуждает их строить?

Вопрос второй:

И почему вдруг(!), неожиданно, мимоходом сообщается, что ква­драты МКОР и М'К'О'Р' "равн(ы)"[10.115]?

Откуда взялось равенство квадратов МКОР и М'К'О'Р'?

Ответ математика на последний наш вопрос:

"...Сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чер­теже 2 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырех равных треугольников, а площадь квад­рата, построенного на гипотенузе ( на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М'К'О'Р', равного квадрату МКОР..."[10.116].

Стоп!

А откуда равенство квадратов М'K'О'P' и МКОР?

Мы никогда не выйдем из этого круговращения нашего вопроса и ответа математика, если полностью доверимся только доказательству математика. Еще ни один математик не задавался этим вопросом, для него и так "легко видеть".

Если математику "легко видеть" с² = а² + b² , то пусть нам ука­жет, объяснит откуда у него в доказательстве вынырнуло равенство квадратов М'К'О'P' и МКОР, и, вообще, какова природа этих квадра­тов. "Кстати. Гегель неоднократно подсмеивался... над словом (и понятием) еrklaren, объяснение, должно быть противопологая мета­физическому решению раз и навсегда ("объяснили"!!) вечный процесс познания глубже и глубже"[9.115].

Ведь ни в условии, ни в выводе математик нам не указывает на неведомо откуда взявшее равенство квадратов М'К'О'Р' и МКОР, тем более о природе этих квадратов. Равенство этих квадратов в дока­зательстве математика вынырнуло ниоткуда, так, мимоходом, вдруг и невзначай, мгновенно, раньше условия и вывода.